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《圆锥曲线与方程》专题复习
第四节 圆锥曲线的综合问题
考点一 椭圆与双曲线综合中基本量的计算问题
x21.(2013年浙江卷,文9)如图,F,F是椭圆C:
41
2
1
+y=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四
2
边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
(A)2 (B)3
(C)
3 2 (D)6 2解析:由椭圆定义得,|AF1|+|AF2|=4, |F1F2|=24?1=23,
2
2
2
因为四边形AF1BF2为矩形, 所以|AF1|+|AF2|=|F1F2|=12,
所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)-(|AF1|+|AF2|)=16-12=4,
2
2
2
所以(|AF2|-|AF1|)=|AF1|+|AF2|-2|AF1||AF2|=12-4=8,
2
2
2
所以|AF2|-|AF1|=22, 2,c=3,
因此对于双曲线有a=所以C2的离心率e=故选D. 答案:D
6c=. a2x2y22.(2012年山东卷,理10)已知椭圆C: 2+2ab=1(a>b>0)的离心率为
32.双曲线x-y=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这
22
四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
x2(A)
8+
y22=1
x2y2 (B) +
126x2y2=1 (C) +
164=1
x2y2 (D) +
205=1
解析:利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.
∵椭圆的离心率为3, 2=a2?b2c∴=
aa∴a=2b.
3, 2精品资料
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∴椭圆方程为x+4y=4b.
2
2
2
∵双曲线x-y=1的渐近线方程为x±y=0,
2
2
?2525?∴渐近线x±y=0与椭圆x+4y=4b在第一象限的交点为??5b,5b??,
??2
2
2
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为
2525b×b=4, 55∴b=5,
22
∴a=4b=20.
2
x2y2∴椭圆C的方程为+
205故选D. 答案:D
=1.
3.(2012年浙江卷,文8)如图所示,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
(A)3
(B)2
(C)3 (D)2
x2y2解析:设椭圆的标准方程为2+2ab则椭圆的离心率为e1=
=1(a>b>0),半焦距为c1,
c1. ay2-2n=1(m>0,n>0),半焦距为c2,
x2设双曲线的标准方程为2mc2则双曲线的离心率为e=.
m2
由双曲线与椭圆共焦点知c1=c2. 由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m, 即2m=a.
c2e2ma∴===2.
ce11ma故选B. 答案:B
x2y24.(2011年浙江卷,文9)已知椭圆C: 2+2ab1
=1(a>b>0)与双曲线C2:x-
2
y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为
直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
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(A)a=
2
131 (B)a=13 (C)b= (D)b=2 222
2
2
2
2
2
解析:双曲线渐近线方程为y=±2x, 圆的方程为x+y=a,
则|AB|=2a,不妨设y=2x与椭圆交于P、Q两点,且P在x轴上方, 则由已知|PQ|=∴|OP|=
12a|AB|=, 33a, 3?5a25?∴P??15,15??. ??又∵点P在椭圆上,
∴
5a220a2+
225225b2a22
2
2
2
=1.①
又a-b=5,b=a-5,②
?211a?,??2联立①②解得?故选C.
?b2?1.??2答案:C
x2y25.(2011年山东卷,文15)已知双曲线2-2ab两倍,则双曲线的方程为 .
x2y2=1(a>0,b>0)和椭圆+
169=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的
x2y2解析:椭圆+
169x2y2由于双曲线2-2ab因此a+b=7.
2
2
=1的焦点坐标为F1(-7,0),F(7,0),离心率为e=2
7. 4x2y2=1与椭圆+
169=1有相同的焦点,
又双曲线的离心率e=
a2?b2a=
7, a所以727=, a42
2
2
所以a=2,b=c-a=3,
x2故双曲线的方程为
4-
y23=1.
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x2答案:
4-
y23=1
考点二 椭圆与抛物线综合问题及解法
1.(2012年山东卷,理21)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. (3)若点M的横坐标为2
2
2
3. 42,直线l:y=kx+
11与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当42≤k≤2
时,|AB|+|DE|的最小值. 解:(1)依题意知F?0,??p?p,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上, ?2?4因为抛物线C的准线方程为y=-所以
p, 23p3=, 442
即p=1.
因此抛物线C的方程为x=2y.
2??x0(2)假设存在点M?x0,? (x>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′
2??0
x?x0?x2??=??2??x?x0=x0,
2x0所以直线MQ的方程为y-2=x0(x-x0).
令y=
x011得x=+.
4x420Q
所以Q（
x011+,）. 24x04又|QM|=|OQ|,
1x0故（-4x0221x0因此（-4221x0）+（-422
）=（
2
1x0+4x02）+
2
1, 16）=
2
9. 16又x0>0, 所以x0=2,此时M(2,1). 2,1),
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故存在点M(______________________________________________________________________________________________________________
使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
(3)当x520=2时,由(2)得Q（
8,14）, 22☉Q的半径为r=??52???1??8??????4??=368, 所以☉Q的方程为（x-522
18）+（y-）2
4=2732. ??y?1x2,由??2
???y?kx?14整理得2x2
-4kx-1=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由于Δ2
1=16k+8>0,x11+x2=2k,x1x2=-2, 所以|AB|2
=(1+k2
)[(x2
1+x2)-4x1x2] =(1+k2
)(4k2
+2).
????22由??x?52????8??????y?1?4???2732, ???y?kx?14整理得(1+k2)x2
-
524x-
116=0. 设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),
由于Δ2
=k227524+8>0,x3
+x4
=4?1?k2?,
x3x4=-
116?1?k2?.
所以|DE|2
=(1+k2
)[(x2
3+x4)-4x3x4]
=
258?1?k2?+14.
因此|AB|2
+|DE|2
=(1+k2
)(4k2
+2)+
2518?1?k2?+4.
令1+k2
=t,
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圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题(教师版)
