（1）求出一元模型y??0??1x1?u中的?1的最小二乘估计量及其相应的标准差估计量； （2）后来发现y还受x2的影响，于是将一元模型改为二元模型y??0??1x1??2x2?v，收集x2的相应观察值并计算出：
??x22?6
??x2??8 y?x??x12?2
求二元模型中的?1，?2的最小二乘估计量及其相应的标准差估计量；
?与二元模型中的??1是否相等？为什么？ （3）一元模型中的?13-28．考虑以下预测的回归方程：
???120?0.10F?5.33RS R2?0.50 Yttt其中：Yt——第t年的玉米产量（蒲式耳/亩）
Ft——第t年的施肥强度（磅/亩） RSt——第t年的降雨量（英寸）
要求回答下列问题：
（1）从F和RS对Y的影响方面，说出本方程中系数0.10和5.33的含义； （2）常数项?120是否意味着玉米的负产量可能存在？ （3）假定?F的真实值为0.40，则估计值是否有偏？为什么？
（4）假定该方程并不满足所有的古典模型假设，即并不是最佳线性无偏估计值，则是否意味着?RS的真实值绝对不等于5.33？为什么？
3-29．已知线性回归模型Y?XB?U式中U~（0，?I），n?13且k?3（n为样本
2容量，k为参数的个数），由二次型(Y?XB)'(Y?XB)的最小化得到如下线性方程组：
??2??????3 ?123??5??????9 2?123?????6????8 ?123要求：（1）把问题写成矩阵向量的形式；用求逆矩阵的方法求解之；
?； （2）如果Y?Y?53，求?2?的方差—协方差矩阵。 （3）求出?3-30．已知数据如下表：
Y X1 X2 1 3 8 15 28 1 2 3 4 5 10 9 5 1 -6 要求：（1）先根据表中数据估计以下回归模型的方程（只估计参数不用估计标准差）：
yi??0??1x1i?u1i yi??0??2x2i?u2i yi??0??1x1i??2x2i?ui
（2）回答下列问题：?1??1吗？为什么？?2??2吗？为什么？ （四）自我综合练习类题型
3-31．自己选择研究对象(最好是一个实际经济问题)，收集样本数据，应用计量经济学软件（建议使用Eviews3.1），完成建立多元线性计量经济模型的全过程，并写出详细研究报告。
四、习题参考答案
（一）基本知识类题型
3-1．解释下列概念
（1）在现实经济活动中往往存在一个被解释变量受到多个解释变量的影响的现象，表现为在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称为多元线性回归模型，多元指多个解释变量。
?的关于参数估计值的线性代数方程组称为正规方程组。 （2）形如???????B3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均为线性。
3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂；
3-4．在多元线性回归模型中，参数的最小二乘估计量具备线性、无偏性、最小方差性，同时多元线性回归模型满足经典假定，所以此时的最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量，又称BLUE估计量。对于多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，
3-5．答：多元线性回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项ui服从均值为0方差为?的正态分布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。
3-6．答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。 （二）基本证明与问答类题型
3-7．答：含有待估关系估计量的方程组称为正规方程组。 正规方程组的非矩阵形式如下：
2????x???x?????x)?0??yi??(?011i22ikki???????yix1i??(?0??1x1i??2x2i????kxki)x1i?0?????x???x?????x)x?0 ??yix2i??(?011i22ikki2i??????????yixki??(?0??1x1i??2x2i????kxki)xki?0正规方程组的矩阵形式如下：
? ???????B推导过程略。
3-16．解：
（1）证明：由参数估计公式可得下列参数估计值
?2????x??x2i?i?x?2i)(y??3i(yi?x2i)22i?x??x??x2i23i2i3i23i3i???x??x?x?x???x?x?y??x?x???x?x?y???x?x?x?x??????xxx???x?x???x??x?x?x2i3i2i3ii2i3i22ii23i2i22i2i3i22i2i3i23i2i3i3i?x??x??x?x??x??x2i23i2i23i3i
3i??1??2??(y??x?)?x?x?x??(y??x?)xx?????x??x?x?x???x?x??y???x?x?x?x??y??x?x?x?x???????x?xx?x?x???x??x?x?x22i2ii2i2i3i3ii2i22i2i3i2i3i23i22i2i3ii22i2i3ii2i22i2i3i22i2i3i23i2i?3??3i3i??x?x??x?x??x??x22i2i2i23i3i3i
???3?1?y?x???2x2???3x3??2)x2???3x3?y?(1???x???x?y??2233???1
证毕。 ⑵证明：
?1???2x2i???3x3i?i??yi?x2i??u?1?(1???2)x2i???3x3i?yi??????x???x?yi??122i33i?i?u证毕。
⑶设：zi?yi?x2i I式的拟合优度为：
ESSR?1??1?TSS21?(y??ui2i2?y)
II式的拟合优度为：
ESS2R2?1??1?TSS?(zi?z)2???ui2
2?i?u?i?成立，即二式分子相同，若要模型II的拟合优度R2小于模型在⑵中已经证得uI的拟合优度R1，必须满足：
3-17．答：
⑴方程B更合理些。原因是：方程B中的参数估计值的符号与现实更接近些，如与日照的小时数同向变化，天长则慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数成反向变化，这一点在学校的跑道模型中是一个合理的解释变量。
⑵解释变量的系数表明该变量的单位变化在方程中其他解释变量不变的条件下对被解释变量的影响，在方程A和方程B中由于选择了不同的解释变量，如方程A选择的是“该天的最高温度”而方程B选择的是“第二天需交学期论文的班级数”，由此造成X2与这两个变量之间的关系不同，所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号。 3-18．答：
将模型⑴改写成(yi?2zi)????xi?ui，则?的估计值为：
2?(zi?z)2??(yi?y)2。
????(x?x)(y?2z)
?(x?x)iii2i
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
