??7?7329?732??42??,(1分) B3,,?219?2573?219?2573219?2573??当??????7?7342时，可解得x??由此可得两个可疑的条件极值点 ，4219?2573??7?7329?732??42??, B2,,?219?2573?219?2573219?2573???7?732?9?732?42?, B4?,,?219?2573219?2573219?2573???????????由于椭圆?的四个顶点存在,则上述B1,B2,B3,B4,的坐标即为所求四个顶点的坐标.
B1,B2,B3,B4,在xOy平面上的投影显然不是A1,A2,A3,A4 (1分)
注 上述解法3中若将y??x改为x??y,则得下列等价结论：
2??3??7??2?0, ?2 2??2??3y?4，????解得???7?73?7?7362时，可解得y??由此可得两个可疑的. 当??，6673?73?B1???条件极值点
?73?72??, ,,73?7373?73273?73??262?5?73?????73?725?732??62? B3?,,??73?7373?73273?73??当???????7?7362时，可解得y??由此可得两个可疑的条件极值点 ，673?73??73?7273?52?62??, B2,,??73?7373?73273?73???B4????????73?72??。 ,,?73?7373?73273?73?2?62?73?5???B1,B2,B3,B4,的坐标即为所求四个顶点的坐标.
六. （12分） 设?:x2?y2?z2?4?z?0?,取上侧,试求曲面积分
???xdydz?ydzdx?zdxdyx??y?1??z222.
解 方法1 设?1:z?0x?y?4,取下侧, 原式??22?xdydz?ydzdx?zdxdyxdydz?ydzdx?zdxdy? ????5?2y5?2y???1?1?xdydz?ydzdx?zdxdyxdydz?ydzdx?zdxdy?0?(2分) ????5?2y5?2y???1???1x5?2y,Q?y5?2y,R?z5?2y记P???Rz??,则Px??Qy5?3?y??5?2y?32,(2分)记?与?1所围的区域为?,应用高斯公式得
??Rz?dV?5??? 原式????Px??Qy????3?y?5?2y?232dV(2分)(此积分下面用2种方法求)
(法1)?5?23?y?32?2?5?2y?4?y?dy(3分)令5?2y?t?t?0? ?223?955?915?324?3?????2?1?9t?t?dt????t?3t?t??8?(3分) 161?t16?t5?1? (法2) ?5??D3?y?5?2y?0324?x2?y2dxdyD:x2?y2?4
?? ?10?dy??224?y23?y?5?2y??2324?y2?x2dx(2分)
2 ?10?dy??223?y0?5?2y?3232?4?y?cos22tdt x?4?y2sint
?? ???5223?y?2?5?2y??4?y?dy(2分)令5?2y?t?t?0?
223?955?915?324?3?????2?1?9t?t?dt????t?3t?t??8?(2分) 161?t16?t5?1?方法2 采用统一投影法,由于
dydzdzdxdxdy??,(2分)所以 xyz原式????x2?y2?z2zx??y?1??z222dxdy (2分)
?4??D215?2y4?x2?y24?y2dxdy ?D:x2?y2?4?(2分)
1dx (2分)
?8?dy??215?2y04?y2?x22?8?215?2y?2?arcsin2x4?y24?y20?dy ?4??215?2y?2dy(2分)
?4???1?5?2y?8?.(2分)
?2222七. （12分）已知二次锥面4x??y?3z?0与平面x?y?z?0的交线是一条直线L,
(1) 试求常数?的值,并求直线L的标准方程; (2) 平面?通过直线L,且与球面x2?y2?z2?6x?2y?2z?10?0相切, 试求平面 ?的方程.
222解 (1) 二次锥面4x??y?3z?0与平面x?y?z?0相交有3种可能: 一条直
线或两条直线或一点. 令 y?1 得
4x2???3z2?0,x?z?1,?x2?6x????3??0
相交为一条直线的充要条件是上式有唯一解, （2分）而上式有唯一解的充要条件是
??36?4???3??0???12,
?x2?6x?9?0,所以??12时L是一条直线. （2分） ??12时由?解得x??3,y?1,z?4?z?1?x,所以直线L通过点P??3,1,4?. 因直线L又通过原点O?0,0,0?,取直线L的方向为
ruuurxyz??.（2分） l?OP???3,1,4?.则直线L的标准方程为
?314rrrn?a,b,c,??因n?l,故 (2) 设平面 ?的方程为ax?by?cz?0,其法向量为
3a?b?4c?0,（1分）球面的球心为??3,1,1?,半径为为1,平面?与球面相切时球心到平
面?的距离为1,所以有
?3a?b?c?a2?b2?c2?4a2?3ab?3ac?bc?0,（2分）
b?3a?4,??214?取c?1,由 ?2 解得?a,b,c???2,2,1?,?,?,1?,因此所求平面??55??4a?3ab?3a?b?0的方程为
2x?2y?z?0, 或 2x?14y?5z?0, （3分）
八.（12分） 已知函数f?x??7?2x在区间??1,1?上关于x的幂级数展式为
2?x?x2f?x???anxn,
n?0?(1) 试求an?n?0,1,2,L?; (2) 证明级数?n?0?an?1?an收敛,并求该级数的和.
a?2?a?2?n??n?1?7?2x2x?7AB???,通分得
2?x?x2?1?x??2?x?1?x2?x解 令f?x?? 7?2x?A?2?x??B?1?x?, 取 x?1可得A?3, 取 x??2可得B?1,
所以 f?x??31?,（2分） 1?x2?x(1) 下面用2种方法求an.方法1
nn????1?1????1f?x???3xn??nxn???3?n?1?2n?022n?0n?0???n?x,x?1（3分） ??于是an??1??3?2n?1n?n?0,1,2,L?.（1分）(x?1不写,不扣分).
?n??1?方法2 由于 ???x????1?nn!,所以 n?1x?n?f?n?1??x???3????x?1??n??1?????2?x???3??1?nn!?x?1?n?1???1?nn!?2?x?n?1,（2分）
于是an?f?n??0?n!??1??3?2n?1n?n?0,1,2,L?.（2分）
(2)
?n?0??an?1?2???an?2???1?an?1?an1??????（2分） ?a?2?a?2a?2a?2?an?2???an?1?2??????n?0n?0?nnn?1n?1???11??11?1????1??nlim????L???? ????????a?2a?2a?2a?2a?2a?2?12n?1???1?n????0??11??nlim??（2分） ???a?2a?2n?1?0??2?lim3n??1??1?1?13n?1?21?1?? 332n?2所以原级数收敛,其和为?.（2分）
2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准
