2024本一试题解答与评分标准
一．填空题（ 每小题4分，共20分） (1) 设f?u??arctan?21?u2?lnxdy,??x??,y?f???x??,则
dx1?ux2? .
x?1(2) ?0?sinx?cos2x???dx? .
(3) ?10?1?x?22dx? .
??0,0,0??3,函数 (4) 已知函数F?u,v,w?可微，Fu??0,0,0??1,Fv??0,0,0??2,Fwz?f?x,y?由F2x?y?3z,4x2?y2?z2,xyz?0确定，满足f?1,2??0,则 fx??1,2?? .
(5) 设?是区域
????x,y?｜x32?y2?4,0?y?x?的边界曲线，取逆时针方向, 则
3y???x?y???y?1?e?dx???x?y???xyeydy? .
?1?2?; (3) ?; (4)?2; (5) 6?.
4523二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分）
一.答案: (1) ; (2)
?1?3?L??2n?3???2n?1??lim(1)求极限 n????2?4?L??2n?2???2n???;
??x2?xy?y244(2) 求极限 xlim?sinx?y. 44??x?yy??2??解 (1) 记 an?12?32?L??2n?1?22?42?L??2n?22,因为
?2k?1???2k?1??12?2k??k?N*?,（1分）所以
0?an?2n?1?2n?3???2n?1?2n?12n?1（2分） 1?33?55?7???L???,222224262?2n??2n??2n?2?因为 limn???2n?2lima?0. （2分） ?0,应用夹逼准则得 n??n(2) 应用不等式的性质得
x2?xy?y2?x2?y2?2xy?2x2?y2,x4?y4?2x2y2,（2分）
??222x?yx2?xy?y21144?sinx?y???， 0?（1分）
x4?y42x2y2y2x2????22?11?x?xy?ylim?2??0,应用夹逼准则得 lim因为x?sin?x4?y4??0.（2分） ???244x??x?y???yx?yy??三.（10分）已知函数f?x?在x?a处可导?a?R?,数列xn,yn满足:xn??a??,a?,????limx?a,nlimy?a, 试求 nyn??a,a??? ???0?,且nlim??n??n?? 解 由f?x?在x?a处可导得 limx?axnf?yn??ynf?xn?yn?xn.
f?x??f?a?x?a?f??a?, ( 2分)
limn??f?xn??f?a?xn?a?f???a??f??a?, nlim??f?yn??f?a?yn?a?f???a??f??a?, ( 2分)
应用极限的性质得
f?xn??f?a??f??a??xn?a???n??xn?a?,?n?0?n???,( 1分) f?yn??f?a??f??a??yn?a???n??yn?a?,?n?0?n???,( 1分)
代入原式得
limn??xnf?yn??ynf?xn?yn?xn??f?a??af??a??nlim??xn?n?yn?a??yn?n??a?xn?yn?xn ( 2分)
??f?a??af??a??nlimx???nnyn?aa?xn ?nlimy???nnyn?xnyn?xn??yn?aa?xn因为limx??limy??0,0??1,0??1?? n??nnn??nny?xy?xnnnn????f?a??af??a??0?0??f?a??af??a?. ( 2分)
111?xsin?cos?四. (10分) 已知f?x???x2x?0???1?x?0或0?x?1?; 试判别:
?x?0?，(1) f?x?在区间??1,1?上是否连续? 若有间断点,判断其类型;
(2) f?x?在区间??1,1?上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3) f?x?在区间??1,1?上是否可积? 若可积,求出?f?x?dx;若不可积, 写出理由.
?11xsin解 (1) f?x?在区间??1,1?上不连续. (1分)由于limx?0x?0111?0,limcos不存在,
x?02xx所以limf?x?不存在, f?x?在x?0处不连续,x?0是第二类振荡型间断点. (2分) (2) f?x?在区间??1,1?上存在原函数. (1分)f?x?在区间??1,1?上的一个原函数为
1?12?xsinF?x???2x?0???1?x?0或0?x?1?;(上式2分,下式1分)
?x?0?.(3) 由于x?0是f?x?在??1,1?上的唯一间断点，f?x?在??1,1?上有界, 所以f?x?在区间??1,1?上可积. (1分) 下面用2种方法计算定积分:
方法1
??11f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx
?100?0111?x2sin2x方法2
11?x2sin?12x10?11??sin??1??sin1?sin1 (2分)
2211?sin1?sin??1??sin1 (2分) ?1221??11f?x?dx?F?x?五.(14分) 已知曲面x2?2y2?4z2?8与平面x?2y?2z?0的交线?是椭圆,?在xOy平面上的投影?1也是椭圆, (1) 试求椭圆?1的四个顶点A1,A2,A3,A4的坐标(Ai位于第i象限,i?1,2,3,4);(2)判断椭圆?的四个顶点在xOy平面上的投影是否是A1,A2,A3,A4,写出理由.
?x2?3y2?2xy?4,解 (1) 椭圆?在xOy平面上的投影为?1:?(2分)因为?1关于原
z?0.?点中心对称,所以椭圆?1的中心是?0,0?,为了求椭圆?1的四个顶点的坐标,只要求椭圆
?1上到坐标原点的最大距离与最小距离的点.
取拉格朗日函数 F?x2?y2??x2?3y2?2xy?4, (1分) 由
?Fx??2x?2??x?y??0,??Fy??2y?2??3y?x??0, ?x2?3y2?2xy?4?22的1,2式消去?得x?y?2xy?0,与第3式联立解得y??1.(2分)当y?1时解得可疑
??的条件极值点A1?1?2,1,A2?1?2,1, 当y??1时解得可疑的条件极值点
????A31?2,?1,A41?2,?1,由于椭圆?1的四个顶点存在,则上述A1,A2,A3,A4的坐标
即为所求四个顶点的坐标. (2分)
(2) 解法1 椭圆?的四个顶点在xOy平面上的投影不是A1,A2,A3,A4(1分)(反证)假设椭圆?的四个顶点B1,B2,B3,B4在xOy平面上的投影是A1,A2,A3,A4,则B1,B2,B3,B4的坐标为
???????1?2??1?2? B1??1?2,1,,B?1?2,1,???2??,??22??????1?2?1?2?B3?1?2,?1,,B1?2,?1,, (2分) ??4?????2?2???119?72,长半轴21171OB2?OB4?192?72??,19?72,由此得椭圆?所围图形的面积为S???442(2分) 这是不对的.因为
由于椭圆?的中心是?0,0,0?,所以椭圆?的短半轴OB1?OB3?OA1?OA3?4?22,OA2?OA4?4?22,
所以椭圆?1的长半轴a?4?22,短半轴b?4?22,于是椭圆?1所围图形的面积为S1??ab?22?.(1分)由于平面x?2y?2z?0的法向量的方向余弦中cos??.所以椭圆?所围图形的面积应为 S?23S1导出矛盾. (1分) ?32?，cos?解法2 椭圆?的四个顶点在xOy平面上的投影不是A1,A2,A3,A4(1分)(反证)假设椭圆?的四个顶点B1,B2,B3,B4在xOy平面上的投影是A1,A2,A3,A4,则其中B1的坐标为
??1?2?B1??1?2,1,,(1分) ???2??0?,为了求椭圆?的四个顶点因为?关于原点中心对称,所以椭圆?的中心是?0,0，满足的方程,只要求椭圆?上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令
F?x2?y2?z2???x2?2y2?4z2?8????x?2y?2z?,
?Fx??2x?2?x???0,?F??2y?4?y?2??0,y?? ?Fy??2z?8?z?2??0,?x2?2y2?4z2?8,?x?2y?2z?0,????? (2分)
由方程组???中（1），（2），（3）式联立消去?，?得3xz?yz?xy?0， (2分)将B1的坐标x??1?2,y?1,z??1?2代入得 2313xz?yz?xy??2?12?1?22?????2?1???2?1???1 2?0，2即B1的坐标不满足方程组???，所以B1不是椭圆?的顶点。导出矛盾。(1分)
解法3 应用拉格朗日乘数法求椭圆?上四个顶点的坐标 (题目没有这个要求，如果有学生用此方法求解,时间上可能得不赏失,而且往往解不到底，难得全分). 因为?关于原
0?,为了求椭圆?的四个顶点的坐标,只要求椭圆点中心对称,所以椭圆?的中心是?0,0，?上到坐标原点的最大距离与最小距离的点. 令
F?x2?y2?z2???x2?2y2?4z2?8????x?2y?2z?,
?Fx??2x?2?x???0,?F??2y?4?y?2??0,y?? ?Fy??2z?8?z?2??0,?x2?2y2?4z2?8,?x?2y?2z?0,????? (2分)
由方程组???中（1），（2），（3）式联立消去?，?得3xz?yz?xy?0，(2分)将此式与（4），（5）式联立并消去z得
?3x2?2y2?7xy?0, ?22x?3y?2xy?4.?令y??x代入此式得
2??2??7??3?0, ? 22???3??2??1?x?4解得??7?737?7342. (1分)当??时，可解得x??由此可得两个，44219?2573?7?732?9?732?42?, B1?,,?219?2573?219?2573219?2573??可疑的条件极值点
????
2024年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准
