第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量
第一课时
思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .
在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．
定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，?，?，… 表示．
思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．
例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .
利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .
离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….
思考3：电灯的寿命X是离散型随机变量吗？
电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：
?0，寿命<1000小时； Y=??1,寿命?1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．
连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度?是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，表示正面向上，?=0，?=1，
表示反面向上 （2）若?是随机变量，?三、讲解范例：
?a??b,a,b是常数，则?也是随机变量 例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数
ξ；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解：(1) ξ可取3，4，5 ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5
（2）η可取0，1，…,n，… η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,… 例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试
验结果是什么？
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”
所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点 例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按
每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：
1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数?；②长江上某水文站观察到一天中的水位?；③某超市一天中的顾客量? 其中的?是连续型随机变量的是（ ）
A．①； B．②； C．③； D．①②③ ２.随机变量?的所有等可能取值为1,2,…,n，若P???4??0.3，则（ ）
A．n?3； B．n?4； C．n?10； D．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A．
11； 12 B．
31； 36 C．
5； 36 D．
1 124.如果?是一个离散型随机变量，则假命题是( )
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A. C. D.
?取每一个可能值的概率都是非负数；B. ?取所有可能值的概率之和为1； ?取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；
?在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 答案：1.B 2.C 3.B 4.D
五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对
应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量 2． 1．2离散型随机变量的分布列
一、复习引入：
1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、
η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若?是随机变量，??a??b,a,b是常数，则?也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型） 请同学们阅读课本P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：
1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(?ξ ?xi)?pi，则称表
… … x1 P1 x2 P2 xi Pi … … P 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0?P(A)?1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和
即
P(??xk)?P(??xk)?P(??xk?1)????
3.两点分布列:
例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令X=?如果针尖向上的概率为
?1，针尖向上；?0,针尖向下.
p，试写出随机变量 X 的分布列．
p) ．于是，随机变量 X 的分布列是
解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1?ξ 0 1 优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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P
像上面这样的分布列称为两点分布列．
两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布 ( two一point distribution)，而称
1?p p p=P (X = 1）为成功概率．
两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努
利分布．
P???0??q， P???1??p，
0?p?1，p?q?1．
4. 超几何分布列：
例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．
解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为C10，从100 件产品中任取3件，
其中恰有k 件次品的结果数为C5C95，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为
3?kC5kC95P(X?k)?,k?0,1,2,3。 3C100k3?k3所以随机变量 X 的分布列是
X P 0 3C50C953C1001 12C5C953C1002 1C52C953C1003 30C5C953C100
(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) ≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 .
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为
kn?kCMCN?MP(X?k)?,k?0,1,2,nCN,m,
其中m?min{M,n}，且n?X P 0 0nCMCN?MnCNN,M?N,n,M,N?N?．称分布列
1 … … m mn?mCMCN?MnCN 1n?1CMCN?MnCN
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布（ hypergeometriC 优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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distribution ) .
例 3．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5 ．于是中奖的概率 P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 )
35?345?455?5C10C30C10C30C10C30?10?10?10=??555C30C30C30≈0.191.
思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？
kknP???k??CmCN?k/CN
例4.已知一批产品共 由古典概型知
件，其中 件是次品，从中任取
与
件，试求这 件产品中所含次品件数
的分布律。
解 显然，取得的次品数
kn?CMCN?P(X?k)?nCNkM只能是不大于 最小者的非负整数，即
的可能取值为：0，1，…，min{M,n}，
k,?0,1,2,m , 此时称 成了
服从参数为(N,M,n)的超几何分布。
件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取
件”.如果是有放回地抽取，就变
注 超几何分布的上述模型中，“任取
重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品
时，超几何分布的极限分布就是二项分布，
总数 很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当
即有如下定理. 定理 如果当
时，
M?p，那么当 Nk。
时（
不变），则
kn?kCMCNkn?M?CNpk(1?p)?nCN
由于普阿松分布又是二项分布的极限分布，于是有：
超几何分布
二项分布
普阿松分布.
例5．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．
分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率． 解：设黄球的个数为n，由题意知
绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n． ∴
P(??1)?4n4n12n2?，P(??0)??，P(???1)??． 7n77n77n7ξ P 1 0 －1 所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
4 7172 7说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1． 例6．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 P 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
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（精）高中数学选修2-3教案
