④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数Cn,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x?3y中的系数无关. 解：设(2x?3y)10r?a0x10?a1x9y?a2x8y2???a10y10(*),
各项系数和即为
a0?a1???a10,奇数项系数和为a0?a2??a1,
偶数项系数和为
a1?a3?a5???a9,x的奇次项系数和为a1?a3?a5???a9,x的偶次项系数和a0?a2?a4???a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为C10②令x?0110?C10???C10?210.
y?1,各项系数和为(2?3)10?(?1)10?1.
0210?C10???C10?29,
③奇数项的二项式系数和为C10偶数项的二项式系数和为C10④设(2x?3y)令x?10139?C10???C10?29.
?a0x10?a1x9y?a2x8y2???a10y10,
y?1,得到a0?a1?a2???a10?1…(1),
y??1(或x??1,y?1)得a0?a1?a2?a3???a10?510…(2)
?a2???a10)?1?510,
10令x?1,
(1)+(2)得2(a0∴奇数项的系数和为1?5;
2(1)-(2)得2(a1?a3???a9)?1?510,
10∴偶数项的系数和为1?52.
10⑤x的奇次项系数和为a?a?a???a?1?513592;
10x的偶次项系数和为a0?a2?a4???a10?1?5.
2点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
第三课时
例9．已知(3x?x2)2n的展开式的系数和比(3x?1)n的展开式的系数和大992,求(2x?1)2n的展开式中:①二项式系
x优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
35
数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意2①(2x?即T62n?2n?992,解得n?5.
110)的展开式中第6项的二项式系数最大, x15?T5?1?C10?(2x)5?(?)5??8064.
x②设第r?1项的系数的绝对值最大, 则Tr?11rr?C10?(2x)10?r?(?)r?(?1)r?C10?210?r?x10?2r
xr10?rr?1rr?1???C10?210?r?1?11?r?2r?C10?2?C10?2C10∴?,得?,即?
r10?rr?110?r?1rr?12(r?1)?10?r???C10?2??C10?2?2C10?C10 ∴8?r?11,∴r?3,故系数的绝对值最大的是第4项 33例10．已知：(x23?3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令x?1，则展开式中各项系数和为(1?3)又展开式中二项式系数和为2， ∴22nn?22n，
n?2n?992，n?5．
233232223（1）∵n?5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴T3?C(x)(3x)?90x25226，T4?C(x)(3x)?270x?C(x)r5235?r2r3523，
rr510?4r3（2）设展开式中第r?1项系数最大，则Tr?1(3x)?3Cx，
rrr?1r?1?79?3C5?3C5??r?∴?，∴r?4，
rrr?1r?122??3C5?3C5即展开式中第5项系数最大，T5例11．已知Sn?C(x)(3x)?405x452324263．
1n?12n?2n?1?2n?Cn2?Cn2???Cn?2?1(n?N?)，
求证：当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 分析：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn ∵Sn∴Sn1n?12n?2?2n?Cn2?Cn2??4n?1变形，化为含有因数64的多项式 n?1?Cn?2?1?(2?1)n?3n，
?4n?1?3n?4n?1，∵n为偶数，∴设n?2k（k?N*），
优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
36
∴Sn?4n?1?32k?8k?1?(8?1)k?8k?1
1k?1?Ck08k?Ck8??Ckk?18?1?8k?1 ?Ck2)82 （?） ，
?(Ck8当k=1时，Sn当k0k1k?1?C88??4n?1?0显然能被64整除，
（?）式能被64整除， ?2时，
所以，当n为偶数时，Sn三、课堂练习： 1．
?4n?1能被64整除 ?x?1??x?1?展开式中x的系数为 ，各项系数之和为 ．
4542．多项式
123f(x)?Cn(x?1)?Cn(x?1)2?Cn(x?1)3?n?Cn(x?1)n（n?6）的展开式中，x6的系数为 3．若二项式(3x2?1n?n?N（）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（ ） )32x A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上 5．在(1?x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1?x2)n等于（ ）
A.0 B.
pq C.p2?q2 D.p2?q2
1?an?1n???1?Cn．
1?an1?a01?a211?a321?a43Cn?Cn?Cn?Cn?6．求和：
1?a1?a1?a1?a7．求证：当n?N且n?2时，38．求
?n?2n?1?n?2?．
?2?x?10的展开式中系数最大的项 答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：3. B 4. C 5. D 6. ?a7. (略) 8. T3?1f?x??xn?1?n?6? ?1?a?n?1
?15360x3
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
?1621?2nx?1．已知(a?1)展开式中的各项系数的和等于??5x??
5的展开式的常数项，而(a2?1)n 展开式的系数的最大
优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
37
的项等于54，求a的值(a?R)答案：a??3 132．设
?1?x??3?2x??a1?059?a0?x?1??a1?x?1??14?a13?x?1??a14
3??19683； ②
9求：① a0?a14 ②a1?a3??a13．答案：①39?35?2?9963 3．求值：2C94．设
813589?C9?2C92?C9?2C94?C9?2C96?C97?2C9?C9．答案：2?256 f(x)?(x2?x?1)9(2x?1)6，试求f(x)的展开式中：
（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）36?729；
36?136?1?364；所有奇次项的系数和为?365（2）所有偶次项的系数和为
22七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用an,an?an来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=ana来化简计算 01n0nn?1rn?rrnnr现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法?a1ab??aab??abannnn1．（2007年江苏卷）若对于任意实数x，有x3?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?a3(x?2)3，则a2的值为（B）
A．3 B．6 C．9 D．12
?22?2．（2007年湖北卷）如果?3x?3?x??【分析】：Tr?1n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(B)
A.3 B.5 C.6 D.10
?Cnr3(x)2nr(??)2rrnr?C3)?r?nrxrn(23x(2?r)3?nrn?r3?C(r2)?xn25?，
优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
38
2n?5r?0，n?5r2（r?2,4,n）。nmin?5.
3??3．（2007年江西卷）已知?x??3x??Ａ．4
Ｂ．5
n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ C ） Ｃ．6
Ｄ．7
?21?4．（2007年全国卷I）?x??x??A．3
B．4
的展开式中，常数项为15，则n?（ D ）
8C．5 D．6
的展开式中常数项为
（用数字作答） ?42 ．
1?2?5．（2007年全国卷Ⅱ）(1?2x)?x??x???21?6．（2007年天津卷）若?x??ax??7．（2007年重庆卷）若(x?6的二项展开式中x的系数为
25，则a? 22 （用数字作答）．
1n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） x1xA10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x3+
)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 7 .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 图1
2n?1 行；第61
优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
39
(精)高中数学选修2-3教案
