4.展开式的第4项的二项式系数C75. （1）(a?3333?35，第4项的系数C72?280 b)5?a5?5a43b?10a33b2?10a2b?5ab3b?b3b2；
（2）(x25125xxx?)?xx?xx?5x?20?402?3232328xxxxx)5?(1?x)5?2?20x?10x2；
.
6. （1）(1?12（2）(2x?3x)?(2x?3x)?192x?253?2lgx?12412?124432 x 7.
?x?x?展开式中的第3项为Cxlgx5?106?x3?2lgx?105
?2lg2x?3lgx?5?0?lgx?1,lgx??105?x?10,x? 10002 1??8. ?x??x??2n展开式的中间项为(?1)nnC2n
五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 八、教学反思：
(a+b) =
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)的 ，其中Cn（r=0,1,2,……,n）叫
ｎ
ｎ
r做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理是指(a?b)nn?1n?22n?rr?an?C1b?C2b???Crb?? nananan这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中?Cnbn它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y=xn的导数公式y′=nxn1，同时lim(1?－
n??1n)=e≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e在高等数学中的地位更是nθ
举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei=cosθ+isinθ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e的指数形式来表达.且直接由e的定义建立的y=lnx的导数公式y=
11与积分公式?=dxlnx+c是分析学中用的最多的xx优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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公式之一.而由y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f(x)=f(x0)+
f?(x0)1!(x－x0)2+…
fn(x0)n!(x－
x0)n+
f(n?1)[x0???(x?x0)](x?x0)n?1(θ
(n?1)!∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更是广泛深入到高等数学的各个
分支中.
怎样使二项式定理的教学生动有趣
正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？
怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.
而MM教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”1只有客体的形式与学生主体认知结
［］
构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.
MM教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”2在教学中追求简易，重视直观，并巧
［］
妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.
1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
第一课时
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例： （1）(a?b)（2）(1?n0n1n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，
1x)n?1?Cnx?rr?Cnx??xn.
2．二项展开式的通项公式：Tr?1rn?rr?Cnab 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；要注意到指数及项数的整数性
求有理项时
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中
是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 每行两端都
2．二项式系数的性质：
012nr(a?b)n展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，…，Cn．Cn可以看成以r为自
变量的函数
f(r)
定义域是{0,1,2,,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的点（如图）
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（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn直线rmn?m?Cn）．
?n是图象的对称轴． 2kn(n?1)(n?2)(n?k?1)k?1n?k?1， ?Cn?k!kn?k?1n?k?1n?1kk?1∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，， ?1?k?kk2n?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
2（2）增减性与最大值．∵Cn?当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C（3）各二项式系数和： ∵(1?1x)n?1?Cnx?rr?Cnx?n2nn?12n，Cn?12n取得最大值．
?xn，
r?Cn?n?Cn
令x?1，则2n012?Cn?Cn?Cn? 三、讲解范例：
例1．在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 n证明：在展开式(a?b)n0n1n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)中，令a?1,b??1，则
0123(1?1)n?Cn?Cn?Cn?Cn?n?(?1)Cnn，
即0?(Cn∴Cn002?Cn?13)?(Cn?Cn?)，
2?Cn?13?Cn?Cn?，
即在(a?b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知Cn例2．已知(1?2x)（1）a1?a27n02?Cn?13?Cn?Cn??2n?1.
?a0?a1x?a2x2??a7x7，求：
??a7； （2）a1?a3?a5?a7； （3）|a0|?|a1|?7?|a7|.
解：（1）当x?1时，(1?2x)?(1?2)7??1，展开式右边为
a0?a1?a2?∴a0当x?a7
?a7??1，
?a7??1?1??2，
?a1?a2??0时，a0?1，∴a1?a2?优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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（2）令x?1， a0令x??1，a0?a1?a2??a7??1 ①
?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?37 ②
71?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??2（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0.
?a2?a4?a6)??1?37，
，
?1?37∴ a0?a2?a4?a6?2∴|a0|?|a1|??|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7
?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 例3.求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103
(1?x)[1?(1?x)10]（1?x）?解：(1?x)?(1?x)??
1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，
x∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347
第二课时
例4.在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25
解：∵(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5
1∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C555
5
?5x，
14在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x的项为C52∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)∴此展开式中x的系数为240 x?80x
?240x，
例5.已知(x?42n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 2x解：依题意Cn42:C2n?14:3?3Cn?14Cn
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10 优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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设第r+1项为常数项，又 Tr?1?C(x)r1010?r2r(?2)r?(?2)rC10xx10?5r2
令
10?5r?0?r?2， 22?T2?1?C10(?2)2?180.此所求常数项为180 例6． 设当a0?1?x???1?x???1?x?23???1?x??a0?a1x?a2x2?n?anxn，
?a1?a2??an?254时，求n的值 解：令x?1得：
a0?a1?a2?∴2n?an?2?2?2?232(2n?1)?2??254，
2?1n?128,n?7，
f(x)?a0(x?a)n?a1(x?a)n?1??an，令
点评：对于
x?a?1,即
x?a?1可得各项系数的和
a0?a1?a2?例7．求证：Cn1?na的值；令x?a??1,即x?a?1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 23?2Cn?3Cn?n?nCn?n?2n?1．
n?nCn ① 21?2Cn?Cn
证（法一）倒序相加：设S又∵S∵Cnr123?2Cn?3Cn??Cn?nCnn?(n?1)Cnn?1?(n?2)Cnn?2?n?r0n1n?1?Cn，∴Cn?Cn,Cn?Cn, ②
，
n?Cn?，
n?nCn?n?2n?1．
由①+②得：2S∴S012?n?Cn?Cn?Cn?1123?2Cn?3Cn???n?2n?n?2n?1，即Cn2（法二）：左边各组合数的通项为
rCnr?r?∴ Cn1n!n?(n?1)!r?1??nCn?1，
r!(n?r)!(r?1)!(n?r)!n012?nCn?n?Cn?1?Cn?1?Cn?2?n?1n?1． ?Cn?1??n?223?2Cn?3Cn?10例8．在(2x?3y)的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
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（精）高中数学选修2-3教案
