解：方法同上，一共有
A55A33＝720种 （3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有乙两个同学“松绑”进行排列有
4A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方法；最后将甲、
A22种方法．所以这样的排法一共有A52A44A22＝960种方法 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A5种方法， 所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A6652?2A5)?A2?960种方法 5解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有以，这样的排法一共有
51A4种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A5种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所
12A55A2A4＝960种方法．
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起 解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：
342A3A4A2?288（种）
说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）． 例8．7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ 解法一：（排除法）
762A7?A6?A2?3600；
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有分别插入这六个位置（空）有
A55种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学
52A62种方法，所以一共有A5A6?3600种方法．
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ 解：先将其余四个同学排好有有
A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”
4A53种方法，所以一共有A4A53＝1440种．
说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
第六课时
例9．5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列 解：（1）先将男生排好，有故本题的排法有N5A55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，有2A5种排法 55?2A5?A5?28800（种）；
10A105（2）方法1：N?5?A10?30240；
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方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有的位置已经指定，所以她们只有一种排法 5A10种排法；余下的5个位置排女生，因为女生
故本题的结论为N2007年高考题
5?A10?1?30240（种）
1．（2007年天津卷）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 作答）．
2．（2007年江苏卷）某校开设9门课程供学生选修，其中
子涂一种颜色，要390 种（用数字
A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同
学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
3．（2007年北京卷）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ Ｂ ） Ａ．1440种
Ｂ．960种
Ｃ．720种
Ｄ．480种
4．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为答案：B； （Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８
5．（2007年全国卷I）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有
（用数字作答） 36 种．
6．（2007年全国卷Ⅱ）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ） A．40种
B．60种
C．100种
D．120种
210 种.（用数字作答）
7. （2007年陕西卷）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 （A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
8．（2007年四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） 解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有1?4?A433?96个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有2?3?A4?144个；
故共有96?144?240个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
9（．2007年重庆卷）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有____25_____种.（以数字作答）
10．（2007年宁夏卷）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
240
种．（用数字作答）
11．（2007年辽宁卷）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai(i?1，2，，6)，若a1?1，a3?3，a5?5，
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a1?a3?a5，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
解析：分两步：（1）先排a1,a3,a5，a1=2，有2种；a1=3有2种；a1=4有1种，共有5种；（2）再排a2,a4,a6，共有
3A3?6种，故不同的排列方法种数为5×6=30，填30．
1．2．2组合
第一课时
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N?m1?m2??mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方
法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N?m1?m2??mn 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，．．．．．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号
Anm表示 5．排列数公式：
mAn?n(n?1)(n?2)(n?m?1)（m,n?N?,m?n）
6阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1． 7．排列数的另一个计算公式：
Anm=
n!
(n?m)! 8.提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． ．．
二、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一
个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ （2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
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（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m的组合数．用符号Cn表示． ．．．
例2．用计算器计算C10． 解：由计算器可得
7?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素
m
例3．计算：（1）C7； （2）C10；
477?6?5?4＝35；
4!10?9?8?7?6?5?47（2）解法1：C10?＝120．
7!10!10?9?87 解法2：C10?＝120． ?7!3!3!（1）解： C74?第二课时
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以求得，故我们可以考察一下C4．．．．．．．．．
3A4的关系，如下：
333和
组 合 排列
abc abdacdbcd????abc,bac,abd,bad,acd,cad,bcd,cbd,cab,dab,dac,dbc,acb,bca,cbaadb,bda,dba adc,cda,dcabdc,cdb,dcb3A4，可以分如下
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数
3两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C4个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有
3A4种方法．由分步计数原理得：A＝C?A，所以，C?3A3343433A3334．
（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；
mmAn，可以分如下两步：
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② 求每一个组合中m个元素全排列数（3）组合数的公式：
mmmmAm，根据分步计数原理得：An＝Cn?Am．
Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1) C?m?Amm!mn或Cmn?n!(n,m?N?,且m?n)m!(n?m)!0n 规定: C?1.
三、讲解范例：
例4．求证：Cmn?m?1m?1?Cn．
n?m证明：∵Cmn?n!
m!(n?m)!?m?1n!?
n?m(m?1)!(n?m?1)!m?1?Cn?m＝
m?1nm?1n!?
(m?1)!(n?m)(n?m?1)!n!
m!(n?m)!＝
∴Cmn?m?1m?1?Cn
n?mx?12x?3?Cx?1的值 例5．设x?N?, 求C2x?3 解：由题意可得：??2x?3?x?1 ，解得2?x?4，
?x?1?2x?3∵x?N?， ∴x当x?2或x?3或x?4，
?2时原式值为7；当x?3时原式值为7；当x?4时原式值为11．
第三课时
∴所求值为4或7或11．
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题． 优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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(精)高中数学选修2-3教案
