即
Anm=
n! (n?m)! 例2．解方程：3
3Ax?2Ax2?1?6Ax2．
解：由排列数公式得：3x(x?1)(x?2)?2(x?1)x?6x(x?1)， ∵x?3，∴ 3(x?1)(x?2)?2(x?1)?6(x?1)，即3x解得 x?5或x2?17x?10?0，
?2?，∵x?3，且x?N，∴原方程的解为x?5． 3x例3．解不等式：A9?6A9x?2．
解：原不等式即
9!9!?6?，
(9?x)!(11?x)!也就是
162?，化简得：x?21x?104?0，
(9?x)!(11?x)?(10?x)?(9?x)!解得x?8或x?13，又∵2?所以，原不等式的解集为例4．求证：（1）Annx?9，且x?N?，
?2,3,4,5,6,7?．
(2n)!?1?3?5n2?n!(2n?1)．
mn?m?An?An（2）?m；
证明：（1）
mn?mAn?An?m?n!(n?m)!?n!?Ann，∴原式成立 (n?m)!（2）
(2n)!2n?(2n?1)?(2n?2)?2n?n!2n?n!?2nn?(n?1)4?3?2?1
2?1?(2n?1)(2n?3)2n?n!3?1
?n!?1?3(2n?3)(2n?1)?1?3?5n!(2n?1)?右边
∴原式成立 说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
（2）公式
mAn?n(n?1)(n?2)Anm中，m,n?N?且m?n这些限制条件，要注意含排列数
(n?m?1)常用来求值，特别是m,n均为已知时，公式Anm=
n!，常用
(n?m)!来证明或化简 例5．化简：⑴
123???2!3!4!?n?1；⑵1?1!?2?2!?3?3!?n!?n?n! 优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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⑴解：原式?1!?11111?????2!2!3!3!4!?111??1?
(n?1)!n!n!⑵提示：由原式??n?1?!??n?1?n!?n?n!?n!，得n?n!??n?1?!?n!，
?n?1?!?1 n?111??． n!(n?1)!n!第二课时
说明：
例1．(课本例2)．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是
2A14=14×13=182.
例2．(课本例3)．(1）从5本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：(1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
A53=5×4×3=60.
(2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是5×5×5=125.
例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算．
例3．(课本例4)．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题
解法 1 ：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9 这中任选 1 个，有A9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可的9个数字中任选2个，有A9种选法（图1.2一 5) ．根据分步原理，所求的三位数有
1A9?A92=9×9×8=648（个） .
21能是O，因九个数字以从余下乘法计数
解法 2 ：如图1.2 一6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类．每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有
3A9?A92?A92=648个．
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解法 3 ：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为
32A10，其中 O 在百位上的排列数是A9，它们的差就是用
这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是
32A10-A9=10×9×8-9×8=648.
对于例9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出 m (m≤n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
1.1节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？ 四、课堂练习： 1．若x2．与3．若
?n!3n?3n3，则x? （ ）(A)An (B)An (C)A3 (D)An?3 3!310989A10?A77不等的是 （ ）(A)A10 (B)81A8 (C)10A9 (D)A10
53Am?2Am，则m的值为 （ ）(A)5 (B)3 (C)6 (D)7
56(m?1)!2A9?3A9? ． 4．计算： ； ?n?16A?(m?n)!9!?A10m?15．若2?(m?1)!?42，则m的解集是 ． m?1Am?1mA10?10?9?6．（1）已知（3）已知
?5，那么m? ； （2）已知9!?362880，那么A97= ；
222?7AnAn?56，那么n? ； （4）已知An?4，那么n? ．
7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？ 8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？ 答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.
?2,3,4,5,6?
6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 教学反思：
排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
第三课时
例1．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：
3A5?5?4?3?60，所以，共有60种不同的送法 （2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5?5?5?125，所以，共有125种不同的送法 说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算 例2．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有
12A3种；第二类用2面旗表示的信号有A3种；第三类用3面旗表示的信号有
13?A32?A3?3?3?2?3?2?1?15， A33种，由分类计数原理，所求的信号种数是：A3例3．将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？
分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有
A44种方法；
A44种方法，
第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有利用分步计数原理即得分配方案的种数 解：由分步计数原理，分配方案共有N字的三位数？
解法1：用分步计数原理： 所求的三位数的个数是：
44?A4?A4?576（种）例4．用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数
1A9?A92?9?9?8?648 32解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有A9个，个位数字是0的三位数有A9个，十位数字是0的三位数有A9个，
由分类计数原理，符合条件的三位数的个数
3A9?A?A?648． 992是：
解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A10，其中以0为排头的排列数为A9，因此符合条件的三位数的个数是
3A10?A92?648-A92．
32说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符优质数学资源下载 http://www.docin.com/sxzyxz
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合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏 第四课时
例5．（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：7个元素的全排列
A77＝5040．
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ 解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——
A66=720．
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有第二步 余下的5名同学进行全排列有
A22种；
52?A5A55种，所以，共有A2=240种排列方法 （5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A5种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有
解法2：（排除法）若甲站在排头有
2A55种方法，所以一共有A52A55＝2400种排列方法 A66种方法；若乙站在排尾有A66种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方
A77－2A66＋A55=2400种．
法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有
说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑 例6.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？ 解法一：（从特殊位置考虑）
15A9A9?136080；
解法二：（从特殊元素考虑）若选：5?则共有5?A95A95；若不选：A96，
?A96?136080种；
65A10?A9?136080解法三：（间接法） 第五课时
例7． 7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有甲、乙两个同学“松绑”进行排列有
62?A2?1440种 A22种方法．所以这样的排法一共有A6A66种方法；再将
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
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（精）高中数学选修2-3教案
