1．1 集合与函数
一、知识要点
（一）集合
1.集合的概念
若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体组成的，则集合M就可以表示成
M?xx具有性质P.
元素为数的集合通常称为数集,常用N表示自然数集,
??N??0,1,2...?;
Z表示整数集; Z?表示正整数集;Q表示有理数集; Q?表示正有理数集; R表示实数
集; R表示正实数集.
不含任何元素的集合称为空集，用?来表示. 2.集合的关系与运算
(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，也称A包含于B,或B包含A,记为A?B. 例如N?Z.
规定空集是任何集合的子集。任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等.如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集. (2)交集:A?B?{xx?A且x?B}. (3)并集:A?B?{xx?A或x?B}. (4)差集:A?B?{xx?A,但x?B} .
有时，我们把研究某一问题时所考虑对象的全体称为全集，并用I表示，把差集I?A称为A的余集或补集，记作A.
c?例如在实数集R中,集合A?xx?1,则A的补集A?xx?1. 集合的交、并、余运算满足如下的运算律：
（1）交换律 A?B?B?A,A?B?B?A; （2）结合律 (A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C); （3）分配律 A?(B?C)?(A?B)?(A?C), A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
??c??
（4）对偶律 (A?B)?A?B,(A?B)?A?B.
3．邻域的概念.设?为某个正数,称开区间?x0??,x0???为点x0的?邻域,记作U(x0,?).
CCCCCCx0为该邻域的中心,?为该邻域的半径. 即
U(x0,?)=?x0??,x0???
=xx0???x?x0?? =xx?x0??.
点x0的邻域去掉中心x0后的集合?x0??,x0???\\{x0}称为点x0的空心邻域（或去心邻域）,记作
????U(x,?).即
0OU(xO0,?)=
?x0??,x0???\\{x0}
=xx0???x?x0或x0?x?x0?? =x0?x?x0??
其中?x0??,x0?称为点x0的左邻域,?x0,x0???称为点x0的右邻域.
（二）函数 1. 函数（显函数）
定义5 设D为一个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于任意一个x?D,都存在唯一的实数y与之相对应,则称对应法则f称为定义在数集D上的函数.记作y?f?x?, 称x为自变量,y为因变量.
D称为函数f的定义域, 定义域D通常记为D(f),当D(f)为区间时,称D(f)为定义区间.
如果x0?D?f?时,则称函数f在点x0有定义, 否则称f在点x0无定义.当函数f在x0处有定义时,称因变量y的对应取值y0为x0所对应的函数值,记为f(x0)或y应于任一自变量x?D?f?的函数值y可记为y?f?x?.
全体函数值所构成的集合,称为函数的值域,记为Z或Z?fx?x0????.因此,对
?,即
Z?Z?f???yy?f?x?,x?D?f??.
2. 隐函数
事实上,表示变量间对应关系的函数形式有多种,其中的一种函数表示形式,其自变量x与因变量y之间的对应法则并不像显函数中所表示的那样明显,而是隐含于一个方程
F?x,y??0
之中.
考研微积分学习辅导-函数、极限与连续
