2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）
题号 一 二 9 10 11 12 总分 得分 评卷人 复核人 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；
3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．
一、填空题（每题8分，共64分）
1. 函数f(x)?x?1?x?3?e?x，x?R的最小值是 ． 2. 设xxn?1?11?1，xn?2x，n?2．数列{xn}的通项公式是xn? ．
n?1?43. 设平面向量?,?满足1?|?|,|?|,|???|?3，则???的取值范围是
．
4. 设f(x)是定义域为R的具有周期2?的奇函数，并且f(3)?f(4)?0，则f(x)在
[0,10]中至少有 个零点．
5. 设a为实数，且关于x的方程(a?cosx)(a?sinx)?1有实根，则a的取值范围是
. 6. 给定定点P(0,1)，动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线y?x2相切，则Q的轨
迹方程是 ． 7. 设z?x?yi为复数，其中x,y是实数，i是虚数单位，其满足z的虚部和
z?i1?z的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(x,y)所构成区域的面积是 ．
8. 设n是正整数．把男女乒乓球选手各3n人配成男双、女双、混双各n对，每位选手
均不兼项，则配对方式总数是 ．
二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）
29. 设正实数a,b满足a?b?1．求证：a?11?b2??3． ab
10. 在如图所示的多面体ABCDEF中，已知AD,BE,CF都与平面ABC垂直．设AD?a，BE?b，CF?c，
AB?AC?BC?1．求四面体ABCE与BDEF公共部
分的体积（用a,b,c表示）．
11. 设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。证明：四边形ABCD的面
积的最大值不是整数。
12. 已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求
证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．
试题解答
一、填空题（每题8分，共64分）
1. 当x??3时，f(x)??2x?4?e?x,f?(x)??2?e?x?0, 因此f(x)单调减；
当?3?x??1时，f(x)?2?e?x, f?(x)??e?x?0，此时f(x)亦单调减；
(x)?0得x??ln2. 当x??1时，f(x)?2x?4?e?x，f?(x)?2?e?x. 令f?因此f(x)在x??ln2处取得最小值6-2ln2．
2. 设u?a?cosx，v?a?sinx．方程有实根?双曲线uv?1与圆(u?a)2?(v?a)2?1有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线y?x之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为1?2/2或
1?圆心坐标为?1?2/2.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，2/2或?1?2/2.
??22?22?,?1?,1?因此，a的取值范围为a???1????1??． 2222????????
x?1x?13xn?1?1?3?2x?13. 由xn?1?3n?1和2xn?1?2n?1，可得n????2xn?1?42xn?1?42xn?122xn?1?1?2?2n?2?3n?2故xn?． n?2n?22?3?2n?2．
4. ????122???????2?2?9171??1?9??．????????2242????2??9．
4?179?以上等号均可取到．故???的取值范围是??,?．
?24?
5. 由题设可知f(??x)?f(???x)??f(??x)。令x=0得f(?)?0。 另一方面，
f(2??4)?f(?4)??f(4)?0. 类似地，f(2?-3)?0 因此，f(x)在[0,10]中的零点一定包含0,2π?4,3,π,2π?3,4,2π,4π?4,2π?3,3π,4π?3这11个零点．
2t). 则l的方程为6. 设PQ的垂直平分线l与抛物线y?x2相切于(t,t2)，切向为(1,y?2t(x?t)?t2．设Q(x,y)，由PQ与l垂直且PQ中点在l上，可得
?x?2t(y?1)?0① ?1． 2(y?1)?tx?t②?2由①解得t?x，代入②得Q的轨迹方程为 2?2y?1?(2y?1)x2?2(y?1)(y?1)2?0，y???1,?．
?2?
7. Rez?ix?(y?1)ix(1?x)?(y?1)y?Re??0等价于 221?z1?x?yi(1?x)?y12. 又由于y212(x?1)?(y?)?22?0，故满足条件的点集构成了圆的一部分，
计算得其面积为
3??2． 8
8. 从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有C32nn种选法，把他们配成n对男双选手有
(2n)!种配对方式。女选手类似。把n个男选手和n个女选手配成n对混双有n!2nn!2(3n)!?nn!?n!?种配对方式。因此，配对方式总数是?C32nnC2． ?n2n?(n!)322n?
二、 解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）
1)，由均值不等式有 9. 证明：对任意a?(0,4a?因此，
1a?24a?1a?4. ----------------------------------（5分）
a2?11?a2?4a?4a??a2?4a?4?2?a．------------（15分） aa
2015年全国高中数学竞赛安徽初赛试题及答案
