a
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 【变式探究】
1.（2017天津，文2）设x?R，则“2?x?0”是“|x?1|?1”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】2?x?0，则x?2，x?1?1，则?1?x?1?1,0?x?2，x0?x?2?xx?2 ，据此可知：“2?x?0”是“x?1?1”的的必要的必要不充分条件，本题选择B选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式【答案】???,?3?2,???. 【解析】
的解集为 .
???????2x?1,x??2令f?x??x?1?x?2，则f?x??{3,?2?x?1，
2x?1,x?1（1）当x??2时，由f?x??5得?2x?1?5，解得x??3，此时有x??3； （2）当?2?x?1时，f?x??3，此时不等式无解；
（3）当x?1时，由f?x??5得2x?1?5，解得x?2，此时有x?2； 综上所述，不等式
考点六：绝对值不等式的应用
如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式m?x?5?x?3对一切x?R恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A．m?2
的解集为???,?3?2,???. ??B．m?2 C．m??8 D．m??8
【答案】A 【解析】
x?5?x?3??x?5???x?3??2，?根据题意可得m?2.
故选：A
【典例10】（2018年理新课标I卷）已知（1）当（2）若【答案】(1)
时，求不等式
时不等式.(2)
．
代入函数解析式，求得
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式
(2)根据题中所给的分情况讨论即可求得结果.
，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式
，利用零点分段将解析式化为
的解集为可以化为
； 时
，
的解集；
成立，求的取值范围．
．
【解析】分析：(1)将
（2）当
；若
【总结提升】
时
，
成立等价于当的解集为
，所以
时，故
成立．若，则当时．
．综上，的取值范围为
1.两类含绝对值不等式的证明问题
一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明． 2.含绝对值不等式的应用中的数学思想
(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．
3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.
(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】
1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数f(x)?|2x?1|?|x?2|． (1)若f?x??4，求实数x的取值范围；
(2)若对于任意实数x，不等式f(x)?|2a?1|恒成立，求实数a的值范围．
?17??15??,【答案】(1) ??；(2) ??,? ?33??44?【解析】
1??3x?3,x??2?1111? (1)由题，f?x???x?1,?x?2；当x?时，?3x?3?4，解得??x?；
2232??3x?3,x?2??11?x?2时，x?1?4恒成立，解得?x?2； 22717当x?2时，3x?3?4，解得2?x?.综上有??x?.
333当
故实数x的取值范围为??,?17??
?33?1??3x?3,x??2?11??1?3(2)因为f?x???x?1,?x?2，当x?时，f?x??f???；
22?2?2??3x?3,x?2??13?x?2时，?f?x??3；当x?2时，f?x??f?2??3. 223故f?x?的最小值为.
233315故2a?1?，即??2a?1?，解得??a?.
22244当
故实数a的值范围为??
?15?,? 44??
2.已知函数??(??)=|???1|．
（1）解不等式??(??)+??(??+4)≥8；
（2）若|??|<1，|??|<1，且??≠0，求证：??(????)>|??|??()．
??【答案】(1) {??|??≤?5 或??≥3} (2)见解析 【解析】
?2???2,??
（1）??(??)+??(??+4) =|???1|+|??+3| ={4,?3≤??≤1,
2??+2,??>1,当??1时，由2??+2≥8，解得??≥3.
所以不等式??(??)+??(??+4)≥8的解集为{??|??≤?5 或??≥3}. （2）??(????)>|??|??(??)，即|?????1|>|?????|． 因为|??|<1，|??|<1，
所以|?????1|2?|?????|2=(??2??2?2????+1)?(??2?2????+??2)=(??2?1)(??2?1)>0， 所以|?????1|>|?????|，故所证不等式成立．
??
??
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
