专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法
【考纲要求】
1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式：
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式. 3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c， |x－a|＋|x－b|≥c， |x－a|＋|x－b|≤c 型不等式. 4.掌握不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.
5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.
【知识清单】
1．实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.
(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式. 3．不等式的性质 (1)性质1：如果a>b，那么b (2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c. 即a>b，b>c?a>c. (3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc. ②如果a>b，c<0，那么ac (5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)． nn(8)性质8：如果a>b>0，那么a>b，(n∈N，n≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． (3)一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为__分式不等式__. f?x?f?x?>0?f(x)g(x)__>__0，<0?f(x)·g(x)__<__0. g?x?g?x? ??f?x?g?x? ≥ 0，f?x? ≥0?? g?x??g?x?≠0.? ??f?x?＝0?f(x)·g(x)__>__0或?. ?g?x?≠0? ???f?x?·g?x? ≤ 0，?f?x?＝0f?x? ≤0???f(x)·g(x)__<__0或? g?x??g?x?≠0?g?x?≠0.?? 6．简单的高次不等式的解法 高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 ?a>0 (1)ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足?； ?Δ<0 2 ?a>0? (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足?； ?Δ≤0??a<0 (3)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足?； ?Δ<0 2 (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为 ?a<0? R)时，满足?. ?Δ≤0? 2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k (1)k 1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a与|x| (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用 如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 【考点梳理】 考点一 ：用不等式表示不等关系 【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析 x－2.5 【解析】提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不 0.1低于20万元”用不等式可以表示为： x－2.5(8－×0.2)x≥20. 0.1【规律总结】 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： ①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等． ②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】 分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系． 500x＋600y≤4 000 ??3x≥y 详解：设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：?x≥0 ??y≥05x＋6y≤40 ??3x≥y即?x≥0??y≥0 ， 考点二：比较数或式子的大小 【典例2】(1)比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小； 1 (2)设a∈R且a≠0，比较a与的大小． a【答案】见解析 【解析】 (1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0， ∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． 1?a－1??a＋1? (2)由a－＝ aa1 当a＝±1时，a＝； a 1 当－1＜a＜0或a＞1时，a＞； a1 当a＜－1或0＜a＜1时，a＜. a 【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】 已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 【答案】见解析 【解析】∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)． 考点三：不等式性质的应用 【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a,b,c,d，下列正确的结论为（A．若a?b,c?0，则ac?bc； B．若a?b，则ac2?bc2； C．若a?b，则1?1；D．若a?b?0，则 baab a?b． 【答案】D 【解析】 A：根据不等式的基本性质可知：只有当c?0时，才能由a?b推出ac?bc，故本选项结论不正确；B：若c0时，由a?b推出ac2?bc2，故本选项结论不正确； C：若a?3,b?0时，显然满足a?b，但是 1b没有意义，故本选项结论不正确； D：ba?ab?b2?a2(b?a)(b?a)ab?ab，因为a?b?0，所以b?a?0,ab?0,a?b?0， 因此 ba?ab?0?baa?b，所以本选项结论正确. 故选：D ）
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
