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平面解析几何阶段质量检测
(时间120分钟，满分150分)
第Ⅰ卷 (选择题，共40分)
一、选择题(本大题共8题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) |a||a|aA. B. C．|a| D．－ 422|a|解析：由已知焦点到准线的距离为p＝. 2答案：B
2．过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝ ( )
A．6 B.2 C．2 D．不确定 b－a
解析：由题知＝1，∴b－a＝1.
5－4∴|AB|＝(5－4)2＋(b－a)2＝2. 答案：B
x2y2
3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为( )
412
11
A．2 B．1 C. D.
416解析：依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝答案：D
12
4．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的
ab
最小值为 ( ) A．1 B．5 C．42 D．3＋22 解析：由(x－2)2＋(y－1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a＋b＝1.
111x，故＝2，得p＝. 2p8p16
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b2a1212
∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋≥3＋22， abababb2a
当且仅当＝，即a＝2－1，b＝2－2时取等号，
ab12
∴＋的最小值为3＋22. ab答案：D
5．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
17151517A. B. C．－ D．－ 161616161解析：准线方程为y＝，
16115由定义知－yM＝1?yM＝－.
1616答案：C
x2y2
6．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝( )
63
A.3 B．2 C．3 D．6 解析：双曲线的渐近线方程为y＝±|3|(2)2＋1答案：A
x2y2
7．(2009·四川高考)已知双曲线－2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线
2b
＝3.
1
x即x±2y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝2
uuuruuur方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝ ( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4 解析：由渐近线方程y＝x得b＝2， x2y2
点P(3，y0)代入－2＝1中得y0＝±1.
2b不妨设P(3，1)，∵F1(2,0)，F2(－2,0)，
uuuruuur∴PF1·(－2－3，－1) PF2＝(2－3，－1)·
＝3－4＋1＝0. 答案：C
/* 8．(2009·天津高考)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A、S△BCF
B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝
S△ACF
( )
4241A. B. C. D. 5372
解析：如图过A、B作准线l：x=-
1的垂线，垂足分别为A1，B1， 2由于F到直线AB的距离为定值． ∴
S△BCF|BC|
＝. S△ACF|CA|
又∵△B1BC∽△A1AC. ∴
|BC||BB1|
＝， |CA||AA1|
|BB1||BF|2
由拋物线定义＝＝. |AA1||AF||AF|3
由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－3，
2∴AB：y－0＝
(x－3)． 33－23
y2
把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
25
∴|AF|＝|AA1|＝.
2故
S△BCF|BF|24＝＝＝. S△ACF|AF|55
2
答案：A
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确答案填在题中横线上)
/* 9．已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为________．
解析：(x0－a)2＋(y0－b)2可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离．而点(x0，y0)在直线ax＋|a·a＋b·b|
by＝0上，所以(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距离
a2＋b2＝a2＋b2. 答案：a2＋b2
10．(2009·福建高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 解析：由焦点弦|AB|＝
2p2p
得|AB|＝， sin2αsin245°
1
∴2p＝|AB|×，∴p＝2.
2答案：2
11．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．
解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0),2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解． x2y2
答案：＋＝1
54
12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准
ruuuruuuruuuruuuBC＝48，则线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·
抛物线的方程为______________．
解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点， 故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p， |AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，
uuur∴∠ABC＝30°，|BC|＝23p，
ruuuruuuBC＝4p·23p·cos30°＝48， BA·
解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
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x213．若双曲线2－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．
a解析：由a2＋1＝4，∴a＝3， ∴e＝
223＝. 3323
答案： 3
14．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________ 解析：如图 |AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2， |CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
x2
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－
9y2
＝1(x＞3)． 16
x2y2?答案：＝1(x>3) 916三、解答题(本大题共6小题，共8分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
15．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．
解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有3解得a＝－.
4
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
|4＋2a|＝2. a2＋1
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