《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）
高等教育出版社 习题一（P12）
1.1 对任何z，z2?z是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些
z值才成立？
2解：设z?x?iy，则z2?x2?y2?2xyi，z?x2?y2；
2222?x?y?x?y若z2?z成立，则有x?y?2xyi?x?y，即?，解得
?2xy?0222222y?0，即z?x。
所以，对任何z，z2?z不成立，只对z为实数时才成立。 1.2 求下列各式的值：
（1）(3?i)； （2）(1?i)； （3）?1 ； （4）(1?i)。 解：（1）因为3?i?2e5?526613?6i，所以
?5?i???5i?i???3155(3?i)??2e6??2e6?32e6?32(??i)??16(3?i)
22???（2）因为1?i?2e4，所以
??3?i??6i?63(1?i)??2e4??2e4?8e2??8i
??6i（3）因为?1?cos??isin?，所以
wk??1??cos??isin???cos616??2k?6?isin??2k?6，其中
k?0,1,2,3,4,5；
即w0?cos?6?isin?6?31???i，w1?cos?isin?i， 2222w2?cos5?5?317?7?31?isin???i，w3?cos?isin???i， 66226622w4?cos11?11?313?3??isin??i。 ?isin??i，w5?cos662222????（4）因为1?i?2?cos(?)?isin(?)?，所以
44????????2k???2k???wk?(1?i)?2?cos4?isin4?，其中k?0,1,2；
33????1316即
????w0?2?cos(?)?isin(?)?1212??1616，
7?7???w1?2?cos?isin1212???16，
5?5???w2?2?cos?isin?。 44??
1.3 求方程z3?8?0的所有根。 解法一：用因式分解法求解。
2因为 z3?8?z3?23?(z?2)(z2?2z?4)?(z?2)??(z?2z?1)?3??
22??(z?2)(z?1?i3)(z?1?i3) ?(z?2)?(z?1)?(i3)??所以由z3?8?0，得(z?2)(z?1?i3)(z?1?i3)?0， 解得 z1??2，z2?1?i3，z3?1?i3；
故方程z3?8?0的所有根为z1??2，z2?1?i3，z3?1?i3。
解法二：用复数的方根的方法求解。
由z3?8?0，得z3??8，即z是?8的三次方根；而 ?8?8(cos??isin?)，所以
??2k???2k????2k???2k????zk?3?8?38?cos?isin?2cos?isin???，其3333????中k?0,1,2；
????即z0?2?cos?isin??1?i3，z1?2(cos??isin?)?2，
33??5?5??z2?2?cos?isin33????1?i3。 ?故方程z3?8?0的所有根为z0?1?i3，z1?2，z2?1?i3 1.4 指出下列各题中点z的轨迹或所在范围，并作图，
（1）z?5?6； （2）z?2i?1； （3）Im(z)?2； （4）0?argz??。 解：（1）z?5?6表示以点(5,0)为中心，6为半径的圆周；
（2）z?2i?1表示以点(0,?2)为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部； （3）Im(z)?2表示直线y?2及其下面的部分； （4）0?argz??表示位于x轴上方的部分。
1.5 指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单联通的还是多联通的。
（1）Im(z)?0； （2）z?1?4； （3）0?Re(z)?1； （4）2?z?3。 解：（1）Im(z)?0表示位于x轴上方的区域，它是无界区域，是单联通的； （2）z?1?4表示以点(1,0)为中心，4为半径的圆周的外部区域，它是无界区域，是多联通的；
（3）它是无界区域，0?Re(z)?1表示介于两直线x?0与x?1之间的区域，是单联通的；
（4）2?z?3表示夹在以原点为圆心，2和3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域，它是有界的，但它是多联通的。
1.6 已知映射w?z3，求：
（1）点z1?i，z2?1?i，z3?3?i在w平面上的像； （2）区域0?argz??3在w平面上的像。
解：（1）将z1?i，z2?1?i，z3?3?i分别代入w?z3，得
w1?z13?i3?i2i??i，
w2?z23?(1?i)3?(1?i)2(1?i)?2i(1?i)??2?2i，
w3?z33??i??3ii??33662?(3?i)??2e??2e?8e?8i，
??3
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