f(12,?1)??12e.
（3）由方程组
?z??y(a?2x?y)?0?x ????zy?x(a?2y?x)?0?aa??? ?33?得四个驻点（0，0），0,((,),0),a,a.又zxx????2y,zxy???a?2x?2y,zyy????2x.
在点（0，0）处，B?AC?a?0,该点不是极值点. 在点(0,a)处，B?AC?a?0,该点不是极值点. 在点(a,0)处，B?AC?a?0,该点不是极值点.
a?aa?在点?,?处,B2?AC???0，所以函数在该点有极值，且极值为
333???aa?f?,???33?a3222222227,由于A?zxx????23a故
当a?0时，(A?0)，函数有极大值
a327a3,
当a?0时，(A?0)，函数有极小值
27.
２．求函数z?x3?4x2?2xy?y2在闭区域D：?1≤x≤4,?1≤y≤1上的最大值和最小值． [分析]由f(x,y)在D上连续，所以必有最大最小值，又由于f(x,y)在D内可导，所以
f(x,y)的最值在D的内部驻点或在D的边界上，由f(x,y)在D内部驻点上值与边界上函
数比较可求出f(x,y)的最大和最小值.
?z??3x2?8x?2y?0?x解：由方程?得驻点（0，0），（2，2）
???zy?2x?2y?0（2，2）?D应该舍去，f(0,0)?0（可由充分条件判别知是极大值）.
D的边界可分为四部分：
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L1:x??1,?1?y?1; L2:y??1,?1?x?4; L3:x?4,?1?y?1; L4:y?1,?1?x?4.
在L1上，f(?1,y)??5?2y?y2??(y),?1?y?1.
?(1)??8最小. 因为??(y)??2(y?1)?0,所以?(y)单调递减，因而?(?1)??4最大，
在L2上，f(x,?1)?x3?4x2?2x?1?g(x),?1?x?4
4?3224?322令g?(x)?0得x1?,x2?.
而min{g(?1),g(x1),g(x2),g(4)}?g(x2)??4422?227274422?)27,
{?(1g)x,1(gx)2,g( maxg)?,g(4x)}?1(227
分别是f(x,y)在L2上的最小值与最大值.
类似讨论可得：在L3上f(4,1)?7,f(4,?1)??9，分别是f(x,y)的最大值与最小值;在L4上f(4,1)?7,f(?1,1)=-8分别是f(x,y)的最大值与最小值.
比较f(x,y)在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到f(4,1)?7是函数
?4?22??4422?227f(x,y)在D上的最大值，f?,?1????16.1.
??327??３．求函数z?x?y在条件解：构造拉格朗日函数
1x?1y?1 (x＞０,y＞０)下的条件极值．
?11?F(x,y)?x?y?????1?
?xy?解方程组
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???Fx??1?2?0x????F?1??0 ?y2y??11???1?xy得x?2,y?2,??4,故得驻点(2,2)。
又dF?dx?dy??x2dx??y2dy,
d2F?2?x3(dx)2?2?y3(dy)
2 ?8(dx)2?8x3y3(dy)2
由x?0,y?0知d2F?0，所以函数z?x?y在(2,2)处有极小值z?4. *４．求曲线y?x上的动点到定点(a,0)的最小距离． 解：设p(x,y)为曲线y?x上的任一点，p到定点(a,0)的距离为d，则d2?(x?a)2?y?
此问题可转化为求d2?(x?a)2?y2在条件y?x下的最小值.
先构造拉格朗日函数
F(x,y)?(x?a)2?y2??(y?x)
解方程组
??Fx??2(x?a)???0??2x?Fy??2y???0 ??y?x??得 x?a?12
由题意x?0,故a?12.
于是当a?12时，d2?a?1，最短距离为a?144.
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又a?12时，最短距离d?|a|.
５．把正数a分解成三个正数之和，使它们的乘积最大．
解：设三个正数为x,y,z,则要求函数u?xyz在条件x?y?z?a(x?0,y?0,z?0)下的极值.
先构造拉格朗日函数
F(x,y,z)?xyz??(x?y?z?a)
解方程组
?F?x???Fy???F?z???x??yz???0?xz???0?xy???0y?z?a
得x?y?z?a3,???a29.
dyz??x(d?xd?y d又? dF?xydz?xdz?yz 由d(x?y?z)?0得dz??(dx?dy)
? dF?2ydxdz?2xdydz?2zdxdy
2?23a[dxdy?(dx?dy)]132
a[(dx?dy)?(dx)?(dy)]?0222??所以当x?y?z?a3时，乘积xyz有最大值u?a327.
６．设生产某种产品的数量f(x,y)与所用甲、乙两种原料的数量x,y之间有关系式f(x,y)＝
0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两种原料各多少，使产量f(x,y)最大?最大产量是多少?
2解：依题意知要求函数f(x,y)=0.005xy在条件x?2y?150下的极值，为此，先构造拉
格朗日函数.
F(x,y)?0.005xy??(x?2y?150),
2解方程组
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?F??0.01xy???0x??x?100?x?0??2 得 或 （依题意，舍去） F?0.005x?2??0???y?y?25?y?75?x?2y?150??得驻点（100，25），由问题实际意义知，函数的最值一定存在，故当x?100,y?25时，产量f(x,y)最大，最大产量为f(100,25)?1250.
７．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为：
Ｃ?400?2x?3y?0.01 (3x2?xy?3y2)（万元）
又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量． 解：依题意销售x件甲产品和y件乙产量的总收入
R(x,y)?10x?9y
总利润L(x,y)?R(x,y)?C(x,y)
?8x?6y?400?0.01(3x?xy?3y)
又知x?y?100，故要求函数L(x,y)在约束条件x?y?100的极值，为此构造拉格朗日函数:
F(x,y)?8x?6y?400?0.01(3x?xy?3y)??(x?y?100)
2222解方程组
?F??8?0.06x?0.01y???0x????Fy?6?0.01x?0.06y???0 ?x?y?100??得唯一驻点(70,30)，由问题的实际意义知，最值一定存在，故当x?70,y?30时，即生产甲产品70件，乙产品30件时，企业获得最大利润，最大利润为L(70,30)?145万元.
习题8?7
1． 将二重积分??f(x,y)dxdy化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：
D(1) ︱x︱≤1,︱y︱≤2;
(2) 由直线y?x及抛物线y2?4x所围成； (3) 由x轴及半圆周x2?y2?r2(y≥0)所围成．
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微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第八章习题详解
