第八章
习题8?1
１．求下列函数的定义域，并画出其示意图： (1)z?1?yxxa22?yb22； (2)z?1ln(x?y)；
２
２
(3)z?arcsin； (4)z?x?xa22． y－arccos（x?y）
22解：（1）要使函数有意义，必须1??yb?0即
xa22?yb22?1，
22??xy 则函数的定义域为?(x,y)|2?2?1?，如图8-1阴影所示.
ab??
图8-1 图8-1
（2）要使函数有意义，必须???ln(x?y)?0x?y?0
即???x?y?1x?y，
则函数的定义域为{(x,y)|x?y且x?y?1},如图8-2所示为直线y?x的下方且除去
y?x?1的点的阴影部分（不包含直线y?x上的点）.
?yy??1?1??x?y?x?x?y??x??1?? （3）要使函数有意义，必须?x,即?， 即?或?，xx?0x?0????x?0x?0??所以函数的定义域为
{(x,y)|x?0且?x?y?x}?{(x,y)|x?0,x?y??x}，
如图8-3阴影所示.
1
图8-3 图8-4
?x?y??x?0? （4）要使函数有意义，必须?0?y?0 即
?y?0?, ??x2?y?|x2?y2|?1??x2?y2?1所以函数的定义域为
{(x,y)|x?0,y?0,x2?y,x2?y2?1},
如图8-4阴影所示.
２．设函数f(x,y)?x3?2xy?3y2，求 (1) f(?2,3); (2) f ?1?,2??； (3)f(x?y,x?y). ?xy?解：（1）f(?2,3)?(?2)3?2?(?2)?3?3?32?31;
32 （2）f?12??1?12?2?1412?,?xy?????x??2???3?xy??y???x3?xy?y2;
（3）f(x?y,x?y)?(x?y)3?2(x?y)(x?y)?3(x?y)2 ?(x?y)3?2(x2?y2)?3(x?y)2. ３．设F(x,y)?y＋f（x－１），若当y?1时，F(x,1)?x，求f(x)及F(x,y)的表达式．解：由F(x,1)?x得x?y?f(x?1)
即 f(x?1)?x?1 令x?1?t则x?(1?t)2代入上式有
f(t)?(1?t)2?1?t(t?2)
所以 f(x)?x(x?2)
2
于是
F(x,y)? ?y?f(x?1)?y?x?1y?(x?1)(x?1)
４．指出下列集合A的内点、边界点和聚点：
(1)A?{(x,y)0?x?1,0?y?x}；(2)A?{(x,y)3x?y?1}； (3)A＝｛（x,y）｜x＋y＞０｝； (4)A?(0,2]． 解：（1）内点{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
边界点{(x,y)|0?x?1,y?0}?{(x,y)|0?y?1,x?1} ?{(x,y)|y?x,0?x?1} 聚点A （2）内点? 边界点A 聚点A （3）内点A
边界点（0，0） 聚点A
（4）内点? 边界点[0,2] 聚点[0,2]
２
２
习题8?2
１．讨论下列函数在点(0，0)处的极限是否存在：
(1) z?
xy224x?y； (2) z?
x?yx?y2．
ky2444解：(1)当P(x,y)沿曲线x?ky趋于（0，0）时，有limf(x,y)?limy?0y?kx2y?0ky?y?k1?k2 这个值随k的不同而不同，所以函数Z=xy224x?y在(0,0)处的极限不存在.
(2)当P(x,y)沿直线y?kx(k?1)趋于(0,0)时，有
limf(x,y)?limy?0y?kxx?kxx?kxx?0?1?k1?k (k?1)，这个极限值随k的不同而不同，所以函数
3
Z=x?yx?y在(0,0)处的极限不存在.
２．求下列极限：
(1) limsinxyxxyxy?1?1x?0y?0； (2)lim1?xyx?y22x?0y?1；
(3)limx?0y?0； (4)limsinxyx?y22x??y??．
解：（1）limsinxyx1?xyx?yxy2x?0y?0?limy?x?0y?0sin(xy)xy?0
（2）limx?0y?12?1?0?10?122?1
（3）limx?0y?0xy?1?1?limxy(xy?1?1)(xy?1?1)(xy?1?1)x?0y?0?lim(xy?1?1)?2
x?0y?0 （4）当x??,y??时，
1x?y22是无穷小量，而sinxy是有界函数，所以它们的积
为无穷小量,即limsinxyx?y22x??y???0.
３．求函数z?
y?2xy?2x22的间断点．
解:由于y?2x?0时函数无定义，故在抛物线y?2x处函数间断，函数的间断点是
{(x,y)|y?2x,x?R}.
222
习题8?3
１．求下列各函数的偏导数：
(1) z?(１?x)y; (2) z?lntan
yxzyx；
(3) z?arctan
?z?x； (4) u?yx．
y?1解：（1）?y(1?x)
4
?zy?y?(1?x)ln(1?x);
（2）?z?x?1?sec2yx??yyy2ytanyx2??x2cotxsecx; x
?zy1?y?1?sec2tanyx?x?1xcoty2yxsecx; x （3）
?z1?y?y?x?2?1??x2?x2?y2;
?y??x??
?z11?y?2?21??y?x?xx?y2;
??x??z （4）
?u?x?yx?lny??zlnyzx2??zx2?yx;
?uz?z?1
?yxyx;?uz?yx?lny?1?z?lnyz
xx?yx.２．已知f(x,y)?e?sinx(x?2y)，求fx?(0，1)，fy?(0，1)．
解：f?sinxx?(x,y)?e?(?cosx)(x?2y)?e?sinx?e?sinx[?cosx?(x?2y)?1] fy?(x,y)??esixn??2?2esxi
n所以f?sin0x?(0,1)?e(?cos0?(0?2?1)?1)??1
f?y?(0,1?)2sien0? 2３．设z?x?y?(y?1)arcsin3y?zx，求
?z．
?xx?1,2y?1?yx?18y?1解：
?zf(x,1)?x?dx?1dx?ddx(x?1)?1
x?1y?122x?12 5
微积分（曹定华）（修订版）课后题答案第八章习题详解
