2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修1-2

3．2.2 复数代数形式的乘除运算

预习课本P58～60，思考并完成下列问题

(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？

(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？

[新知初探] 1．复数代数形式的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有

交换律 结合律 分配律 3.共轭复数

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 (1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d. (2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a＋bi)÷(c＋di)＝

z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 a＋biac＋bdbc－ad＝＋i(c＋di≠0)． c＋dic2＋d2c2＋d2

[点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

[小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z1，z2∈C，且z1＋z2＝0，则z1＝z2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A．1＋2i C．－1＋2i 答案：A

3．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( ) A．4＋2i C．2＋2i 答案：A

i＋i＋i

4．复数＝________.

1－i11答案：－i

22

2

3

4

2

2

B．1－2i D．－1－2i

B．2＋i D．3＋4i

复数代数形式的乘法运算

[典例] (1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( ) A．2 1C．－

2

1B. 2D．－2

(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________． [解析] (1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.

(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i＝5＋5i， 所以z的实部是5. [答案] (1)A (2)5

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

2

(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i换成－1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式

(1)(a＋bi)＝a－b＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a＋b(a，b∈R)． (3)(1±i)＝±2i. [活学活用]

1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)A．2 C．－4

B．－2i D．2i

x＋yx＋y2

2

2

2

2

2

2

的值为( )

解析：选D 由xi－y＝－1＋i得x＝1，y＝1，所以(1＋i)＝(1＋i)＝2i.

2

2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以a－1＝0，a＋1＝b，即a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.

答案：1＋2i

复数代数形式的除法运算

[典例] (1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i C．－3＋5i

B．3－5i D．－3－5i

1＋ai

(2)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )

2－iA．2 1C．－

2

[解析] (1)∵z(2－i)＝11＋7i，

11＋7i(11＋7i)(2＋i)15＋25i∴z＝＝＝＝3＋5i.

2－i(2－i)(2＋i)5

1＋ai(1＋ai)(2＋i)2－a1＋2a1＋ai2－a1＋2a(2)＝＝＋i，由是纯虚数，则＝0，≠0，

2－i(2－i)(2＋i)552－i55所以a＝2.

[答案] (1)A (2)A

1．两个复数代数形式的除法运算步骤

B．－2 1

D. 2

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式

11＋i1－i(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. i1－i1＋i[活学活用]

1－2i1．(天津高考)i是虚数单位，计算的结果为________．

2＋i1－2i(1－2i)(2－i)(2－2)－i－4i解析：＝＝＝－i.

2＋i(2＋i)(2－i)5答案：－i

(1＋i)(4＋3i)

2．计算：＝________.

(2－i)(1－i)

(1＋i)(4＋3i)1＋7i(1＋7i)(1＋3i)

解析：法一：＝＝

(2－i)(1－i)1－3i10＝－2＋i.

(1＋i)(4＋3i)?1＋i??4＋3i?

法二：＝????

(2－i)(1－i)?1－i??2－i?＝＝

i(4＋3i)(2＋i)(－3＋4i)(2＋i)

＝

55－10＋5i

＝－2＋i. 5

答案：－2＋i

i的乘方的周期性及应用

[典例] (1)(湖北高考)i为虚数单位，i的共轭复数为( ) A．i C．1

(2)计算i＋i＋i＋…＋i[解析] (1)因为i＝i

607

1

2

3

2 016

607

B．－i D．－1

＝________.

＝i＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.

21 008

3

4×151＋3

i(1－i)i[1－(i)

(2)法一：原式＝＝

1－i1－i法二：∵i＋i＋i＋i＝0， ∴i＋i

1

1

2

3

4

2 016

]i(1－1)

＝＝0.

1－i

nn＋1

＋i

3

n＋2

＋i

n＋3

＝0(n∈N)， ，

∴i＋i＋i＋…＋i

22 016

＝(i＋i＋i＋i)＋(i＋i＋i＋i)＋…＋(i[答案] (1)A (2)0

123456782 013

＋i

2 014

＋i

2 015

＋i

2 016

)＝0.

虚数单位i的周期性

(1)i

4n＋1

＝i，i

n＋1

4n＋2

＝－1，i

n＋3

4n＋3

＝－i，i＝1(n∈N)．

4n*

(2)i＋i

n＋i

n＋2

＋i＝0(n∈N)．

[活学活用]

1＋i?1＋i?2?1＋i?3?1＋i?10＝______. 计算·?·?·…·????1－i?1－i??1－i??1－i?

1＋i23101＋2＋3＋…＋10553解析：∵＝i，∴原式＝i·i·i·…·i＝i＝i＝i＝－i.

1－i答案：－i

复数综 合应用 1[典例] 设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，求|z|的值及z的实部的取值

z范围．

[解] 因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0. 11

所以ω＝z＋＝x＋yi＋

zx＋yi＝x＋yi＋

y?x－yix?2?i. 22＝x＋22＋?y－2x＋yx＋y?x＋y?

因为ω是实数且y≠0， 所以y－

y2

x＋y2

＝0，所以x＋y＝1，

22

即|z|＝1.此时ω＝2x.

因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2， 1

从而有－＜x＜1，

2

?1?即z的实部的取值范围是?－，1?. ?2?

[一题多变]

1－z1．[变设问]若本例中条件不变，设u＝，证明u为纯虚数．

1＋z证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， 由典例解析知，x＋y＝1，

2

2