以a为起点、b为终点的有向线段所表示的向量记作ab. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、f或a、r、v、f.
自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a = b. 相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模.
向量a、a、ab的模分别记为|a|、|a|、|ab|. 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.
零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.
向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a // b. 零向量认为是与任何向量都平行.
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
类似还有共面的概念. 设有k(k≥3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法
向量的加法: 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b . 三角形法则
平行四边形法则:
当向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. c ccb
a a →→→→→→→→→→b b
(1)交换律a+b=b+a;
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
由于向量的加法符合交换律与结合律, 故n个向量a1, a2, ? ? ?, an(n ≥3)相加可写成
a1+a2+ ? ? ?+an,
并按向量相加的三角形法则, 可得n个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量a1, a2, ? ? ?, an, 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即为所求的和.
负向量: 设a为一向量, 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 2.向量的减法:
我们规定两个向量b与a的差为 b-a=b+(-a).
即把向量-a加到向量b上, 便得b与a的差b-a. 特别地, 当b=a时, 有 a-a=a+(-a)=0. a- b a b a b-a
显然, 任给向量ab及点o, 有 ab=ao+ob=ob-oa,
因此, 若把向量a与b移到同一起点o, 则从a的终点a向b的终点b所引向量ab便是向量b与a的差b-a . 三角不等式:
由三角形两边之和大于第三边的原理, 有 |a+b|≤|a|+|b|及|a-b|≤|a|+|b|,
其中等号在b与a同向或反向时成立. 3．向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
1a=a, (-1)a=-a. →→→→→→→
【篇三：高等数学电子教案4】
教学目的： 第四章 不定积分
1、 理解原函数概念、不定积分的概念。
2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。
3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点：
1、不定积分的概念；
2、不定积分的性质及基本公式；
3、换元积分法与分部积分法。 教学难点：
1、换元积分法； 2、分部积分法；
3、三角函数有理式的积分。
青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 4 1 不定积分的概念与性质 一、 教学目的与要求： 1．
2． 理解原函数与不定积分的概念及性质。 掌握不定积分的基本公式。
二、 重点、难点：原函数与不定积分的概念
三、 主要外语词汇：at first function ，be accumulate function ， indefinite integral ，formulas integrals elementary forms. 四、 辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、 参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 一、原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间i上, 可导函数f(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈i, 都有
f(x)=f(x)或df(x)=f(x)dx,
那么函数f(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间i上的原函数. 例如 因为(sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时,
因为(x)=1, 所以x是1的原函数. 2x2x 提问:
cos x和1还有其它原函数吗？ 2x
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间i上连续, 那么在区间i上存在可导函数f(x), 使对任一x ∈i 都有 f (x)=f(x).
简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明:
第一, 如果函数f(x)在区间i上有原函数f(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, f(x)+c都是f(x)的原函数, 其中c是任意常数.
定义2 在区间i上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间i上的不定积分, 记作 ?f(x)dx.
其中记号?称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量.
根据定义, 如果f(x)是f(x)在区间i上的一个原函数, 那么f(x)+c就是f(x)的不定积分, 即 ?f(x)dx=f(x)+c.
因而不定积分?f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 ?cosxdx=sinx+c.
因为x是1的原函数, 所以 2x
青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 ?1dx=x+c. 2x
例2. 求函数f(x)=1的不定积分. x 解：当x0时, (ln x)=1, x ?1 dx=lnx+c(x0); x
当x0时, [ln(-x)]=1?(-1)=1, -xx ?1dx=ln(-x)+c(x0). x 合并上面两式, 得到 ?1 dx=ln|x|+c(x≠0). x
例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y=f (x)=2x, ,
即f(x)是2x 的一个原函数. 因为 ?2xdx=x2+c,
故必有某个常数c使f(x)=x 2+c, 即曲线方程为y=x 2+c. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 2=1+c, c=1.
于是所求曲线方程为y=x+1.
积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 从不定积分的定义, 即可知下述关系: d[f(x)dx]=f(x), dx?2 或d[?f(x)dx]=f(x)dx;
又由于f(x)是f(x)的原函数, 所以 ?f(x)dx=f(x)+c,
或记作 ?df(x)=f(x)+c.
青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号?表示）是互逆的. 当记号?与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表
(3)?1dx=ln|x|+c, x
(4)?exdx=ex+c, x(5)?axdx=a+c, lna (6)?cosxdx=sinx+c,
(7)?sinxdx=-cosx+c, (8)?
(9)?1=?sec2xdx=tanx+c, 2cosx1dx=?csc2xdx=-cotx+c, 2sinx 1=arctanx+c, 1+x2 1
-x2(10)?(11)?=arcsinx+c, (12)?secxtanxdx=secx+c, (13)?cscxcotdx=-cscx+c, (14)?sh x dx=ch x+c, (15)?ch x dx=sh x+c.
111x-3+1+c=-2+c.例4 ?3=?x-3dx=-3+12xx 青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
高等数学电子教案
