高等数学电子教案
【篇一：高等数学下册电子教案】
第四章 常微分方程
4．1 基本概念和一阶微分方程 甲 内容要点 一．基本概念 1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：
dydydx=p(x)q(y)(q(y)≠0) 通解?p(x)dx+c ?q(y)=
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0 通解?m1(x)
m2(x)dx+?n2(y)n1(y)dy=c (m2(x)≠0,n1(y)≠0) 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 y x dy
dxdy?y?=f ? dx?x? 令 则=u， =u+xdu dx=f(u) ?f(u)-u dy
dxdu=?dxx+c=ln|x|+c （2）=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0) 令ax+by+c=u， 则du
dx=a+bf(u) ?a+bf(u)=?dx
dydu=x+c ?a1x+b1y+c1? ? =f （3） ?dx?a2x+b2y+c2? ①当?=a1
v?? a1+b1?a1u+b1v?u?属于齐次方程情形 ?=f v?a2u+b2v? ?a+b 2?2u?? b1 b2
b1=0情形， 令a2a1= 令u=a1x+b1y， 则du
属于变量可分离方程情形。 三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy
dx+p(x)y=0
-?p(x)dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=ce 2．一阶线性非齐次方程 dy
dx+p(x)y=q(x) ，（c为任意常数）
用常数变易法可求出通解公式 令y=c(x)e-?p(x)dx 代入方程求出c(x) 则得y=e
-?p(x)dx[?q(x)e?p(x)dxdx+c ] 3．贝努利方程 dy
把原方程化为dz
再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程：dy dx=1
q(y)-p(y)x 可化为dx
dy+p(y)x=q(y)
以y为自变量，x为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。 四．全微分方程及其推广（数学一） 1．全微分方程
p(x,y)dx+q(x,y)dy=0，满足 通解：u(x,y)=c，
其中u(x,y)满足du(x,y)=p(x,y)dx+q(x,y)dy 求u(x,y)的常用方法。 第一种：凑全微分法
p(x,y)dx+q(x,y)dy= =du(x,y)
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。 ?x2+y2??； （1）xdx+ydy=d ?2??
?x2-y2??； （2）xdx-ydy=d ?2???q?x=?p?y （3）ydx+xdy=d(xy)； （4）ydx+xdy xy
xdx+ydyx+y22=d(lnxy)； （5）?122?=d?lnx+y?； ?2?()
（6）xdx-ydy
x-y22?122?=d?lnx-y?； ?2?()
（7）xdy-ydx
x2?y?=d ?； ?x? （8）ydx-xdy
y2?x?=d ??； y??
?x??=d arctan ?； y??
y??=d arctan?； x?? （9）ydx-xdyx+y22 （10）xdy-ydxx+y22 （11）ydx-xdy
x-y22?1x-y??=d ln ?； x+y??2
?1x+y??=d ln ?； 2x-y?? （12）xdy-ydxx+y22 （13）xdx+ydy (x
(x2+y2))2?1?1?； =d -2? 22x+y???1?1?； =d -2? 22x-y?? ?122?=d arctanx+y?； ?2? （14）xdx-ydy2-y22 （15）xdx+ydy1+x+y((22))2() （16）xdx-ydy 1+x-y222?122?=d arctanx-y?； ?2?()
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
【篇二：高等数学电子教案8】
第八章 空间解析几何与向量代数 教学目的：
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形；
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点：
1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形；
6、旋转曲面及柱面的方程。 主要外语词汇：
vector, mold, direction cape, direction cosine, the quantity accumulate，the vector accumulate, curved face square distance, revolve curved face，pillar noodles, curves, equations, plane, straight line. 辅助教学情况：
多媒体课件第四版和第五版（修改） 参考教材：
同济大学《高等数学》第五版 8 1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求：
1． 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2． 掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量的运算
三、主要外语词汇：vector,mold,direction cape ,direction cosine.
一、向量概念
向量：既有大小, 又有方向, 这一类量叫做向量.
在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号:
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