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排列组合常见题型及解题策略(详解)

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排列组合常见题型及解题策略

一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,

把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类 问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数

【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同报名方法?

(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1)3(2)43 (3)43

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?

【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,

第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有7种不同方案.

【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( ) A、8 B、3 C、A8 D、C8

【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军 看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有8种不同的 结果。所以选A

3643833二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.

【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有

4【解析】:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4?24种

【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,

22222222C3A2A4A2=432种, 其中男生甲站两端的有A12C3A2A3A2=144,符合条件的排法故共有288

三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,

再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是

52【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A6种,不同的排法种52数是A5A6?3600种

【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答)

111【解析】: A7A8A9=504

【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出 顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 【解析】:不同排法的种数为A5A6=3600

【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙 必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的 不同排法种数是

【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有A5=20种不同排法。

【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,但是 赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会 的节目单的编排总数为 种. 【解析】:A9A10A11=990

【例6】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二 盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?

3【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,

111252所以满足条件的关灯方案有10种.

说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模 型可使问题容易解决.

【例7】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种? 【解析】: 解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A3,○*○*○*○,在四个空中 分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A4种,所以每人左右两边都空位的排法有A4A3=24. 解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A4=24种.

【例8】 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同

31133

的停车方法有多少种?

【解析】:先排好8辆车有A8种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个 空档中任选一个,将空车位置插入有C9种方法,所以共有C9A8种方法. 注:题中*表示元素,○表示空.

1188四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素; 再排其它的元素。

【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余 三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )

A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

23【解析】:方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。A3A3?36

113 方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法C2C2A3?24;若小张、小赵都入选,则有选 22法A2A3?12,共有选法36种,选A.

【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?

14【解析】:老师在中间三个位置上选一个有A3种,4名同学在其余4个位置上有A4种方法;所以

14共有A3A4?72种。.

【例3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?

1625766【解析】 法一:A5A6?3600 法二: A6A5?3600 法三:A7?A6?A6?3600

五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

【例1】(1) 6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( ) A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 (2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为 (A)A15A10

5555535553(B)A15A10A5A3 (C)A15 (D)A15A10A5?A3

15(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?

【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共

6A6?720种,选C.

(2)答案:C

排列组合常见题型及解题策略(详解)

排列组合常见题型及解题策略一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多
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