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初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

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人说几何很困难,难点就在辅助线。

辅助线,如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。二:垂线、分角线,翻转全等连。如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三:边边若相等,旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似,和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。六:两圆相切、离,连心,公切线。如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。七:切线连直径,直角与半圆。如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九:面积找底高,多边变三边。如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。

三角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。

线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,倍长中线得全等。

四边形

平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为三角或平四。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形

半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。

切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。

是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。

要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线

一、截取构全等

如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180

分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形

如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。

分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。

四、角平分线+平行线

如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。

分析:AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

由线段和差想到的辅助线

截长补短法

AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。

分析:过C点作AD垂线,得到全等即可。 由中点想到的辅助线

一、中线把三角形面积等分

如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。<
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