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cosx(cosx)?.x?cosx.(x)?xsinx+cosxxx 解：y?=(2)??( )?=2xln2?=2ln2+22xxxsinx+sinx2，求y? 解：y?=(esinx)?+(sinx2)?=esinxcosx+2xcosx2 0807.设y=e0801.设
y=xex2，求
y? 解：y?=(x)?ex+x(ex)?=ex+2x2ex2222
0707.设
y=esinx?x2，求
解：
y?=esinx.(sinx)??(x2)?=cosxesinx?2x
0701.设
y=lnx+cosex，求
解：
y?=(lnx)??sinex.(ex)?=1?exsinex x（三）积分计算：（2小题，共22分） 11dx=??d(?x) x211coscosxdx 解：xdx=?cos1d(1)=?sin1+c
计算??x2?xxxx211sinsinxdx=?sin1d(1)=cos1+c xdx． 解： 0707.计算?x2?xx?x2x凑微分类型1：??ee10701计算?2dx． 解： ?2dx=??exd()=?ex+c
xxx1dx=2??dx 凑微分类型2：??x.计算
1x1x11?cosxxdx． 解： dx． 解：??cosxxxdx=2?cosxdx=2sinx+c
0807.计算
??sinxxexsinxexdx=2?sinxdx=?2cosx+c
x0801.计算
xdx 解：?xdx=2?exdx=2e+c
11， ?dx=?dlnx??x??xdx=??d(a+lnx) 11dlnx1计算?dx 解：?dx=?=?du=ln|lnx|+c
xlnxxlnxlnxuee2+lnxe2+lnxe15.计算?dx 解： ?dx=?(2+lnx)d(2+lnx)=(2+lnx)2=
11122xx1凑微分类型3：5 定积分计算题，分部积分法 a11a+11xa+11a+1aa+1lnxdx=xlnx?xdx=lnx?x+c 类型1：?xlnxdx=??2a+1a+1a+1a+1(a+1)精品 6
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e112122计算?xlnxdx 解： a=1， ?xlnxdx=?lnxdx=xlnx?x+c
1224e1ex2x2e1+e22?1xlnxdx=2?1lnxdx=(2lnx?4)1=4 eelnxdx=(xlnx?x)=(e?e)?(0?1)=1 ?11elnxlnx111计算? 解： ， a=?2dxdx=?lnxd()=?lnx?+c ?x2?1x2xxxelnxe1lnx1e2dx=?lnxd()=(??)=1? ? ?11x2xxx1eelnxlnx1dx 解：a=?，?dx=2?lnxdx=2xlnx?4x+c 计算?12xxeelnxedx2lnxdx=(2xlnx?4x)=?2e+4 =?1x?110807
?e1e333ee23224222xlnxdx=?lnxd x=(xlnx?x)=e2+4
19313991313e2311e3=(xlnx?x)=e+
?1xlnxdx=3?1lnxdx3199911ax1axaxax 类型2 ?xedx=?xd(e)=xe?2e+c aaa11112x12x11212x2x=(xe?e)=e+ xedx=xde?0042442?011?x?x?x?x1?1xedx=?xde=(?xe?e)=?2e+1 ?0?000707
2111?2x1?2x13?21?2x=(?xe?e)=?e+ xde0024442?011xxx1x（0801考题） ?xedx=?xde=(xe?e)=1 0001111类型3： ?xsinaxdx=?xcosax+?cosaxdx=?xcosax+2sinax+c aaaa1111 ?xcosaxdx=xsinax??sinaxdx=xsinax+2cosax+c aaaa???2xsinxdx=?2xdcosx=(?xcosx+sinx)2=1?0=1 ?0?00?????02xcosxdx=?02xdsinx=(xsinx+cosx)2=2?1
01111xsin2xdx=?xcos2x+cos2xdx=?xcos2x+sin2x+c ??2224????1211? 2xsin2xdx=?xdcos2x=(?xcos2x+sin2x)=?0=2???2xxedx=??102024044精品 7
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????11112222xcos2xdx=xsin2x|?sin2xdx=cos2x|=? 00?0?02242 四、应用题（1题，16分）
类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足
h2+r2=l2
222圆柱体的体积公式为 V=?rh=π(l?h)h
22求导并令 V?=π(l?3h)=0
得hl 36l，并由此解出r=l． 3363即当底半径r=l，高h=l时，圆柱体的体积最大．
33=类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。
2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V表面积为S=?.r2.h,h=V?.r2
2V rV4V2V，此时h=2r=3S?=4πr?2， 由S?=0得r=32ππr=2πr2+2πrh=2πr2+。
由实际问题可知，当底半径r=3V2π与高h=2r 时可使用料最省。
一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为
r，高为
h，则无盖圆柱形容器表面积为
S=πr2+2πrh=πr2+2Vr，令
S?=2πr?V2V3r=,h=r， ， 得 =02πr=3Vπ与高h由实际问题可知，当底半径r=r 时可使用料最省。
2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题） 解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为
表面积 令
y，由已知x2h=V=32，h=Vx2，
y=x2+4xh=x2+4Vx，
4VV3，得， 此时=2 =0h=x=4,x=2V=6422xx由实际问题可知，x=4是函数的极小值点，所以当x=4，h=2时用料最省。 y?=2x?欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 类型3 求求曲线曲线
y2=kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短． y2=kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L=(x?a)2+y2=(x?a)2+kx
L?=2(x?a)+k=0， 2x=2a?k
23-1在抛物线y=4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．
解：设所求点P（x，y），则满足 精品
y2=4x，点P 到点A 的距离之平方为
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L=(x?3)2+y2=(x?3)2+4x
令L?=2(x?3)+4=0，解得x=1是唯一驻点，易知x=1是函数的极小值点， 当x=1时，y=2或y=?2，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2）
3-2求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． y2=2x上的点到点A（2，0） 的距离之平方为L=(x?2)2+y2=(x?2)2+2x
解：曲线
令L?=2(x?2)+2=0，得x即曲线
=1， 由此y2=2x=2， y=?2
y2=2x上的点（1，2）和（1，?2）到点A（2，0）的距离最短。
208074 求曲线y=x上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。
解： 曲线
y=x2上的点到点A（0，2）的距离公式为 d=x2+(y?2)2=y+(y?2)2
d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点， 222 d=y+(y?2) (d)?=1+2(y?2)=2y?3
36，并由此解出x=?， 2263632即曲线y=x上的点（,）和点（?,）到点A（0，2）的距离最短
2222令
(d2)?=0得y=
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电大高等数学基础考试答案完整版(整理)(7月20日).pdf
