河南省新乡市新乡一中2020届高三数学上学期第一次质量预测试题
理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
2
1．设集合A＝{x∈N｜｜x≤2}，B＝{y｜y＝1－x}，则A∩B的子集个数为 A．2 B．4 C．8 D．16 2．复数z＝
1＋i在复平面内对应的点位于 i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016
年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
111x?m14．定义在R上的函数f（x）＝()－2为偶函数，a＝f（log2），b＝f（()3），c＝
232f（m），则
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 5．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如
图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．
1618 B． 55C．10 D．6．已知向量a与b夹角为
32 5?，且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝3，则｜b｜＝ 3A．3 B．2 C．1 D．
3 27．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的
问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹
何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入 的a，b分别为3，1，则输出的n等于
A．5 B．4 C．3 D．2 8
．
函
数
f
（
x
）
＝
2x＋12x－1·cosx的图象大致是
9．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志
愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种
A．60 B．90 C．120 D．150
2
10．已知抛物线y＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两
uuuruuur点，若PF＝3MF，则｜MN｜＝
A．
83168 B． C．2 D．
33311．已知三棱锥P—ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，且边长为3，球
O的表面积为16π，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为 A．
15151515 B． C． D． 7521012．f（x）＝??53152?2x＋1，x＜1，g（x）＝x－x＋m＋2，若y＝f（g（x））－m有9个
44??log2(x－1)，x＞1，55） D．（，3） 33零点，则m的取值范围是
A．（0，1） B．（0，3） C．（1，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线
y＝xex－2x＋1
2
在点（0，1）处的切线方程为
________．
14．若Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则
S10＝_______． S5x2y215．已知双曲线C：2－2＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆，
abuuur3uuur圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若OM＝ON（O为坐标原点），则
2双曲线C的离心率为________．
16．已知数列{an}满足：对任意n∈N*均有an＋1＝pan＋2p－2（p为常数，p≠0且p≠1），
若a2，a3，a4，a5∈{－18，－6，－2，6，11，30}，则a1的所有可能取值的集合是_________． 三、解答题：共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每
个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）
22
已知△ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R（sinA－sinB）
＝（a－c）sinC． （Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b＝12，c＝8，求sinA的值． 18．（12分）
已知三棱锥M—ABC中，MA＝MB＝MC＝AC＝22，AB＝
uuur2uuurBC＝2，O为AC的中点，点N在棱BC上，且BN＝BC．
3 （Ⅰ）证明：BO⊥平面AMC；
（Ⅱ）求二面角N—AM—C的正弦值． 19．（12分）
y2x221（a＞b＞0）的离心率为 已知椭圆E：2＋2＝，且过点C（1，0）．
2ab （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）若过点（－
1，0）的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求3证：恒有｜AB｜＝2｜CM｜．
20．（12分）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水
收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可
以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案越“优”． （Ⅰ）若p＝
22，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； 322，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个3 （Ⅱ）（ⅰ）若p＝
最“优”?
（ⅱ）若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围． 21．（12分）
ex 已知函数f（x）＝x－lnx－．
x （Ⅰ）求f（x）的最大值； （Ⅱ）若f（x）＋（x＋
1）ex－bx≥1恒成立，求实数b的取值范围． x
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做．则按所做的第一题记分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P（1，
?3?x＝acos?，），其参数方程为? 2??y＝3sin?，（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线E的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：
值．
23．[选修4—5不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）＝｜x－1｜－｜2x＋1｜＋m． （Ⅰ）求不等式f（x）≥m的解集；
（Ⅱ）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）≥0，求m的取值范围．
数学（理科） 参考答案
一、选择题
1-12 BDACB CBCDB DA 二、填空题
13. x?y?1?0; 14.4; 15.三、解答题
17.解析：（I）2R(sin∴2R?2R(sin即：a2221OA2＋
1OB2为定值，并求出这个定
30; 16.?0,?2,?66?. 5A?sin2B)?(a?c)sinC.
A?sin2B)?(a?c)sinC?2R,
?c2?b2?ac.……3分
a2?c2?b21?. ∴cosB?2ac2
河南省新乡市新乡一中2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理
