当且仅当2a=
2
??+6．即
1
a＝﹣3时取等号．
函数的最小值为：．
4
1
故答案为：．
4
1
11．【2017年上海11】设a1、a2∈R，且
1
2+????????1
+
12+??????(2??2)
=2，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于 ．
【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]， 要使
12+????????1
+
12+??????2??2
=2，
∴sinα1＝﹣1，sin2α2＝﹣1． 则：??1=?+2??1??，k1∈Z．
2??2=?+2??2??，即??2=?+??2??，k2∈Z． 那么：α1+α2＝（2k1+k2）π?4，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|＝|10π+4?（2k1+k2）π|的最小值为．
4故答案为：．
4??
3??
??
3??
??2??4??212．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元．
【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． ??∈??，??∈??
由题意，得1.5??+0.5??≤150，z＝2100x+900y．
??+0.3??≤90{5??+3??≤600
??+0.3??=90??=60
不等式组表示的可行域如图：由题意可得{，解得：{，A（60，100），
??=1005??+3??=600
目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．
故答案为：216000．
13．【2015年浙江理科14】若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 ． 【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y， 如图直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|＝2x+y﹣2， 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝x﹣2y+4， 利用平移可得在A（，）处取得最小值3；
5
53
4
在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0， 即|2x+y﹣2|＝﹣（2x+y﹣2），
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝8﹣3x﹣4y， 利用平移可得在A（，）处取得最小值3．
5
53
4
综上可得，当x=5，y=5时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．
34
14．【2013年江苏13】在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为 ． 【解答】解：设点P(??，??)(??＞0)，则|PA|=√(?????)2+(?????)2=√??2+√(??+1)2?2??(??+1)+2??2?2，
????1
111?2??(??+??)+2??2=2??
1??令??=??+??，∵x＞0，∴t≥2，
令g（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2＝（t﹣a）2+a2﹣2，
①当a≤2时，t＝2时g（t）取得最小值g（2）＝2﹣4a+2a2=(2√2)2，解得a＝﹣1；
②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t＝a，g（t）取得最小值g（a）＝
a2﹣2，∴a2﹣2=(2√2)2，解得a=√10． 综上可知：a＝﹣1或√10． 故答案为﹣1或√10．
15．【2013年天津理科14】设a+b＝2，b＞0，则当a＝ 时，【解答】解：∵a+b＝2，b＞0， ∴
12|??|
12|??|
1
+
|??|??
取得最小值．
+
|??|??
=
12|??|
+
|??|2???
，（a＜2）
设f（a）=
1|??|
+，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示． 2|??|2???利用导数研究其单调性得， 当a＜0时，f（a）=?2??+???2， f′（a）=
12?(3???2)(??+2)?=2，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0， 2??2(???2)22??2(???2)
1
??
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a＝﹣2时，
12|??|
+
|??|??
取得最小值．
42
1
3
同样地，当0＜a＜2时，得到当a=3时，综合，则当a＝﹣2时，故答案为：﹣2．
12|??|
2|??|
+
|??|??
取得最小值．
4
5
+
|??|??
取得最小值．
16．【2012年浙江理科17】设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝ ． 【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．
（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）． 考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（∴a＞1；
考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0， ∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（
3
21???1
1???1
，0），
，0），代入得：(???1)2????1?1=0，
1??
解之得：a=，或a＝0（舍去）． 故答案为：．
23
17．【2011年浙江理科16】设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是 ． 【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1 ∴（2x+y）2﹣3xy＝1
令t＝2x+y则y＝t﹣2x ∴t2﹣3（t﹣2x）x＝1 即6x2﹣3tx+t2﹣1＝0
∴△＝9t2﹣24（t2﹣1）＝﹣15t2+24≥0 解得?
2√102√10≤??≤ 552√10 5
∴2x+y的最大值是 故答案为
2√10 5
??3??2
18．【2010年江苏12】设实数x，y满足3≤xy≤8，4≤??≤9，则4的最大值是 ．
??
2
【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤
111??22
则有：(??)∈[16，81]，2∈[，]，
????83
??2
≤9， ??再根据 即有
??3
??3??4
=(
??2??
)2?
1????2
∈[2，27]，即当且仅当x＝3，y＝1取得等号，
??4
的最大值是27．
故答案为：27．
??+??≥6，1．【2019年新课标3文科11】记不等式组{表示的平面区域为D．命题p：?（x，y）∈D，2x+y2?????≥0≥9；命题q：?（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题 ①p∨q ②￢p∨q ③p∧￢q ④￢p∧￢q
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
【解答】解：作出等式组{
??+??≥6，的平面区域为D．在图形可行域范围内可知： 2?????≥0
命题p：?（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题； 命题q：?（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；
2020年高考数学压轴题不等式专项(解析版)
