2024年高考数学压轴必刷题
专题07不等式(文理合卷)
1．【2024年北京理科08】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【解答】解：将x换成﹣x方程不变，所以图形关于y轴对称， 当x＝0时，代入得y2＝1，∴y＝±1，即曲线经过（0，1），（0，﹣1）；
当x＞0时，方程变为y2﹣xy+x2﹣1＝0，所以△＝x2﹣4（x2﹣1）≥0，解得x∈（0，
2√33
]，
所以x只能取整数1，当x＝1时，y2﹣y＝0，解得y＝0或y＝1，即曲线经过（1，0），（1，1）， 根据对称性可得曲线还经过（﹣1，0），（﹣1，1）， 故曲线一共经过6个整点，故①正确．
??2+??2
当x＞0时，由x+y＝1+xy得x+y﹣1＝xy≤2，（当x＝y时取等），
2
2
2
2
∴x2+y2≤2，∴√??2+??2≤√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．
在x轴上图形面积大于矩形面积＝1×2＝2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=2×2×1=1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1＝3，故③错误． 故选：C．
1
2．【2016年浙江理科08】已知实数a，b，c．（ ） A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100 B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100 C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100 D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
【解答】解：A．设a＝b＝10，c＝﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100； B．设a＝10，b＝﹣100，c＝0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|＝0≤1，a2+b2+c2＞100； C．设a＝100，b＝﹣100，c＝0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|＝0≤1，a2+b2+c2＞100； 故选：D．
3．【2014年浙江理科10】设函数f1（x）＝x2，f2（x）＝2（x﹣x2），??3(??)=3|??????2????|，????=99，i＝0，1，2，…，99．记Ik＝|fk（a1）﹣fk（a0）|+|fk（a2）﹣fk（a1）丨+…+|fk（a99）﹣fk（a98）|，k＝1，2，3，则（ ） A．I1＜I2＜I3
B．I2＜I1＜I3
C．I1＜I3＜I2
D．I3＜I2＜I1
2
1??
?????1212???111352×99?1199【解答】解：由|()2?()|=×，故??1=(+++?+)=×=1，
9999999999999999999999由2|
?????1?????12199?(2???1)158(98+0)98100
??()2+()|=2×||，故??2=2××=×＜1， 999999999999992×9999991
1
0
2
1
99
98
??3=3[||??????2???99|?|??????2???99||+||??????2???99|?|??????2???99||+?+||??????2???99|?|??????2???99||] =3(2??????2???99?2??????2???99)＞1， 故I2＜I1＜I3， 故选：B．
2?????+1＞0，4．【2013年北京理科08】设关于x，y的不等式组{??+??＜0，?????＞0
满足x0﹣2y0＝2，求得m的取值范围是（ ）
表示的平面区域内存在点P（x0，y0），
1
25
74
A．(?∞，) C．(?∞，?)
2343B．(?∞，)
5313
D．(?∞，?)
2?????+1＞0，【解答】解：先根据约束条件{??+??＜0，?????＞0
画出可行域，
要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=2x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m） 在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方， ??＜?2??+1
1
故得不等式组1?2??＞?2???1，
??＜?1???1{2解之得：m＜?． 故选：C．
2312121
5．【2012年浙江理科09】设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（ ） A．若2a+2a＝2b+3b，则a＞b C．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＞b
B．若2a+2a＝2b+3b，则a＜b D．若2a﹣2a＝2b﹣3b，则a＜b
【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b， ∴若2a+2a＝2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；
对于2a﹣2a＝2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥2b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D． 故选：A．
3
2024年高考数学压轴题不等式专项(解析版)
