阜阳师范学院信息工程学院
Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan
本科毕业论文
题 目: 数学分析中求极限的几种常用方法 学 生: 方 常 学 号： 201002010312 学 院： 阜阳师范学院信息工程学院
专 业： 数学与应用数学 入学时间: 2010 年 09 月 13 日 指导教师： 王海坤 职称: 教授
完成日期： 2014 年 4 月 20 日
诚信承诺书
我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种
常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。
承诺人（签名）
年 月
日
目录
摘要、关键字 ………………………………………………………（1） 1 引言 ……………………………………………………………（1） 2 极限的求法 ……………………………………………………（1）
2.1 利用两个准则求极限……………………………………（1） 2.2 利用导数的定义求极限…………………………………（2） 2.3 利用两个重要极限公式求极限…………………………（3） 2.4 利用函数的连续性求极限………………………………（3） 2.5 利用等价无穷小量代换求极限…………………………（4） 2.6 利用泰勒展开式求极限…………………………………（4） 2.7 利用洛必达法则求极限…………………………………（5） 2.8 利用定积分求极限 ……………………………………（6） 3 结束语 …………………………………………………………（6） 参考文献 ……………………………………………………………（7）
数学分析中求极限的几种常用方法 姓名：方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤
摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要。对于一些简单的极限，直接用定义和相关的公式就可以求解，但是对于一些复杂的极限，直接按极限的定义来求就显得非常局限，不仅难以计算，而且最后也容易算错。为了能够更好地解决极限的求解问题，本文介绍了几种常用求极限的方法，并且每种方法后面都附以实例来说明方法中蕴涵的数学思想。 关键词：夹逼准则 单调有界准则 无穷小量的性质 洛必达法则 定积分 泰勒展开式
1. 引言
极限是数学分析中极其重要的概念，计算极限的方法有很多种，但是在实际应用中很难把握，本文试对数学分析中极限的几种重要求法作以总结，本文中介绍了8类典型极限问题的解法，介绍每种类型时，先把该种类型所要用到的知识点简单介绍，接着附以例题和解答，以便及时掌握和熟练应用。本文共有10道例题，希望能有一定的参考价值，同时也以期对极限问题有一个较为清晰的认识。
2.极限的求法
2.1利用两个准则求极限
2.1.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）.若一正整数 N,当n>N时，有xn?yn?zn且
x??limxn?limzn?a, 则有limyn?a.
x??x??例1：求极限limxn的值，其中xn?n??1?3?5???2n?1?
2?4?6??2n解:
1?3?1?323?54??3?522?2n?
?2n?1???2n?1??2?2n?1??2n?1?由此可知： 0?xn?1?3?5???2n?1??2?4?6??2n1 2n?11
而 limn??1?0，lim0?0，所以由迫敛性知：limxn?0
n??n?02n?1
2.1.2单调有界准则.单调有界数列必有极限，而且极限唯一.
例2：设x1?19,xn?1?6?xn?n?1,2,?,n?。则?xn?的极限是否存在, 若存在求此极限。
解: 由x1?19及x2?5知x1?x2。
设xk?xk?1， 则xk?1?6?xk?6?xk?1?xk?2所以对一切自然数n, 都有xn?xn?1， 即数列{xn}单调下降, 由已知易见xn?0则由上述准则知：?xn?的极限存在。 令limxn?B对xn?1?6?xn两边取极限，
n??
(n?1,2...)即有下界。
有B?6?B所以有B2?B?6?0解得B?3,或B??2。 因为xn?0?n?1,2,??，所以B?0，舍去B??2,故limxn?3n??
2.2利用导数的定义求极限
我们知道，函数y?f?x?在点x?x0处的导数为lim可以某些极限。
例3：求lim?x?2??ctg2x的极限
x?x?x0f?x??f?x0?，利用这一点我们
x?x0?2???f?x??f??11?2??1?1 解：原式=??limtg2x???x??????2limx??2tg2x?tg2?f??????22?x???2?2x?lim2x???x?22
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数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法(定稿)(1)
