学案6：二面角及其度量
小试牛刀2：
一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为 ． 【方法二】法向量法
设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角 ． 注意：此方法的运用适宜于：
①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定． ②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．
一、学习目标：1、理解二面角的平面角的概念2、会求二面角 二、学习重点：求二面角的大小。
学习难点：找二面角的平面角 三、学习过程：
学习活动一：定义法求二面角 【问题1】二面角的定义
2、二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝3，CD＝
13，求该二面角的大小
平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做 。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，每个半平面叫做 。棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记为________． 【问题2】二面角的平面角
在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l、OB⊥l，则________叫做二面角α—l—β的平面角． 【问题3】直二面角
平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是 的平面．
注意：二面角的大小可以用它的 来度量
小试牛刀1： 1．如图，在正方体ABCD—A￠B￠C￠D￠中， (1) 平面ABC￠D￠与底面ABCD所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ； (2) 平面ABC￠D￠与后面DCC￠D￠所成二面角
的棱是 ，平面角是 ，大小是 (3) 平面ABC￠D￠与侧面B￠BCC￠所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ；
(4)二面角C￠-BD-C的棱是 ，平面角是 ，二面角的正切值是 .
2．如图，将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起，若折起后B、C间距离为a2，
则二面角B—AD—C的平面角是 大小为____．
学习活动二：向量法求二面角
【方法一】分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用 度量这个二面角.
小试牛刀3： 已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0），n=（0,1,1），且两平面
所成的二面角为钝角，则两平面所成的二面角为 ． 学习活动三：射影面积法求二面角
【方法】已知二面角α-l-β的度数为θ（0≤θ≤?2），在α面内
有△ABC,它在β内的射影为△A’B’C’,且它们的面积分别为S、
S’则有 即cosθ=
小试牛刀4： 在正方体AC1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，若截面EFDB与侧
面BCC1B1所成的锐二面角为θ，则cosθ＝________.
四、整体建构
五、应用学习
1．如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为2的正方形，其他四个
侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，试画出二面角P—AB—C的平
面角并求它的度数． P
D
C
A B
3、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．
4、△ABC是边长为1的正三角形，CD⊥平面ABC，且CD=1，求二面角B-AD-C的大小。
5．已知正三棱锥S-ABC的棱长都为1，则侧面与底面的二面角的余弦值为
六、当堂检测
A组
1．在二面角的一个面内有一点A，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍, 则二面角的度数是 ．
2．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P—BC—A的大小为________．
3．在90°二面角的棱上有两个点A,B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB。已知AB=5，AC=3，BD=8，则CD长为
4．如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60o， 山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线 AB的夹角是30o，沿这条路上山，行走100米 D 后升高了 米
A C
B
6．如图，三棱锥V—ABC中，VA=VC=AB=BC=2，AC=23，VB=1，试画出二面角V—AC—B的平面角，并求它的度数.
7．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．
B组
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝23，BC＝6，求二面角A－PC－D的余弦值．
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