二、 （满分10分）求直线
?x?y?2z?1?0 绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程. ??2x?y?z?2?0x2三、 （满分10分）计算
?dx?010e?2y2dy.
?2z四、 (满分15分)已知z?z(x,y)由方程yz?xe?1?0确定，试求
?x23z.
x?0y?1?x2?y2?z2?1?4五、 （满分15分）设平面?:x?y?1,d(x,y,z)为曲线?上的点
??x?y?z?0
(x,y,z)到平面?的距离，求d(x,y,z)的最大，最小值 .
六、 (满分15分)如图是一块密度为?（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h；2.薄板绕x轴旋转的转动惯量.
七、 (满分5分) 求证:当t?1,s?0时，成立不等式 ts?tlnt?t?es.
参考解答：
一．1．??3x?4y?z?01； 2. {3e,e,0},；
2?2x?y?2z?5?0???2??2f22???(3?1???2??(?2?)2)?2f2??(3?12????22??)； 2f12 3.
4.
2??; 5. ?1,1,3?,3?3?33x?y?1z?3?0; 6. .
83二．直线：x?t,y?1?t,z?1?t
y0,z0),y0?1?x0,z0?1?x0
曲面上点P(x,y,z)?直线上点(x0, 则旋转曲面方程：
x2y2?z2?2(1?x)2
12三．
?10dx?0e-2y2dy??dy?014ye2?2y2dx??e?2y(1?4y2)dy
0122四．z(0,1)??1,y?3z2?z?z?z1?ez?xez?0, ??? ?x?x?xx?03ey?1 五．d(x,y,z)?1|x?y?1| 213最小距离：d(,13,?123)?62?32，最大距离：d(?13,?13,23)?62?32
六．形心： y?0,x?Rxdxdy???D?2???xdxdy?0
D即
?0?hdx?xdy???d??rcos??rdr?0
?R?20R 七．设F(t,s)?tlnt?t?es?ts,F(1,0)?0
当s 且对固定的t 所以，
?1， 当0?s?lnt,Fs?(t,s)?0,取得最小值且为0，则
?lnt,Fs?(t,s)?0,
s?lntF(t,s)?0，即
1、已知,则f(x,y)?_____________. 2、已知,则? 0 ??xedx?? 12?x___________.
3、函数在点取得极值.
?4、已知f(x,y)?x?(x?arctany)arctany,则fx(1,0)?________.
3xy?(C?Cx)e125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是
____________________. 6 知? 0 ??e(1?p)xdx与
? e 1dxxlnp?1x均收敛,则常数的取值范围是( c ).
(A) (B) (C) (D)
7 数
?4x22, x?y?0?x2?y2f(x,y)??? 0, x2?y2?0?在原点间断,
是因为该函数( b ).
(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若,,,则下列关系式成立的是( a). (A) (B) (C) (D)
3x???y?6y?9y?5(x?1)e9、方程具有特解( d ). 3xy?ax?by?(ax?b)e(A) (B) 23x323xy?(ax?bx)ey?(ax?bx)e(C) (D)
10、设n?1?a?2n收敛，则n?1?(?1)?nan( d ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)
12(?,)1、. 2、. 3、33. 4、1. 5、.
11、求由y?x,x?4,y?0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.解：的函数为。且x?4时，y?8。
(3分)32于是(6分)
lim12、求二重极限
x?0y?0x2?y2x2?y2?1?1.
解：原式
(x2?y2)(x2?y2?1?1)?lim22x?0x?y?1?1y?0 (3分)
?lim(x2?y2?1?1)?2
x?0y?0 (6分)
?2zzz?z(x,y)z?e?xy确定，求?x?y. 13、由
解：设，则 ， ， ， (3分) (6分)
14、用拉格朗日乘数法求在条件x?y?1下的极值. 解：
令,得,,为极小值点. (3分) 故在下的极小值点为,极小值为 (6分)
15、计算
? 112 dy?2edx y yxy.
解： (6分)
6、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域. 解：＝＝ (6分)
近十份大学微积分下期末试题汇总
