13．一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为2平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__5__．
【解析】法一：两人分别摸一个球，基本事件共有4×4＝16种，其中甲获胜共有5种可能，5
故甲获胜的概率为16，其中乙摸到1号球且甲获胜有2种可能，故甲获胜且乙摸到1号球的概1152率为8，故在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为8÷16＝5.
法二：甲获胜共有5种可能，其中乙摸到1号球且甲获胜有2种可能，故在甲获胜的条件2
下，乙摸1号球的概率为5.
x2y2
14．设双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l为双曲线C的一条渐近线，点F关于直线l的对称点为P，若点P在双曲线C的左支上，则双曲线C的离心率为__5__．
【解析】如图，设直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，则l⊥PF，且A为PF的中点，所以|AF|＝b，|OA|＝a，|PF|＝2|AF|＝2b.
设双曲线的左焦点为E，因为O为EF的中点，则|PE|＝2|AO|＝2a， 据双曲线定义，有|PF|－|PE|＝2a，则2b－2a＝2a，即b＝2a.
?b?2
1＋?a?＝5. ??
所以e＝
15．对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图的方式“分裂”．仿此，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为__15__．
【解析】22＝1＋3，23＝3＋5，24＝7＋9，32＝1＋3＋5，33＝7＋9＋11，34＝25＋27＋29.不难得出规律，2n可以表示为两个连续奇数之和；3n可以表示为三个连续奇数之和；5n可以表示为五个连续奇数之和；m3的可以表示为m个连续奇数之和，即211＋213＋…＋[211＋2(m－1)]＝m3，m3－m2－210m＝0，因为m>0，所以m＝15.
ex＋3a
16．设a为整数，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式x≥e恒成立，则a的最大值是__1__． ex＋3ex(x－1)－3【解析】令f(x)＝x(x>0)，则f′(x)＝.
x
令g(x)＝ex(x－1)－3(x>0)，则g′(x)＝xex>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为g(1)＝－3<0，g(2)＝e2－3>0，则g(x)在(1，2)内只有一个零点． 设g(t)＝0，则et＝
3
.当x∈(0，t)时，g(x)＜0，从而f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(t，＋t－1
et＋33
∞)时，g(x)＞0，从而f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝t＝＝et.
t－1
由题意知ea≤et，即a≤t.因为t∈(1，2)，a为整数，所以a的最大值为1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acos B＋bcos A＝2ccos C. (1)求角C的大小；
(2)若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值． 【解析】(1)由已知，sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，(2分) 1
即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，因为sin(A＋B)＝sin C>0，则cos C＝2，(4分) π
又C∈(0，π)，所以C＝3.(5分)
π113
(2)设△ABC的内切圆半径为R，则2absin3＝2·3R，则R＝6ab，(6分) 由余弦定理，得a2＋b2－ab＝(3－a－b)2，化简得3＋ab＝2(a＋b)，(8分) 因为a＋b≥2ab，则3＋ab≥4ab，解得ab≥3或ab≤1，(10分)
若ab≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；(11分) 3
若ab≤1，则当a＝b＝1＝c时，R取最大值6.
?3?2π
所以△ABC的内切圆面积的最大值为Smax＝π??＝12.(12分)
?6?18．(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，BM⊥平面ABCD，BM∥DN，BM＝2DN，点E是线段MN上任意一点．
(1)证明：平面EAC⊥平面BMND；
2π
(2)若∠AEC的最大值是3，求三棱锥M－NAC的体积． 【解析】(1)因为BM⊥平面ABCD，则AC⊥BM.(2分)
又四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，所以AC⊥平面BMND. (4分) 因为AC在平面EAC内，所以平面EAC⊥平面BMND.(5分)
(2)设AC与BD的交点为O，连结EO. 因为AC⊥平面BMND，则AC⊥OE，又O为AC2AE2－AC22
的中点，则AE＝CE，所以cos∠AEC＝2AE2＝1－AE2，∠AEC∈(0，π)．
2π23
当AE最短时∠AEC最大，此时AE⊥MN，CE⊥MN，∠AEC＝3，AE＝3.(7分)
取MN的中点H，分别以直线OA，OB，OH为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ND＝a，
→＝(－1，－3，a)，AM→＝(－1，3，
则点A(1，0，0)，N(0，－3，a)，M(0，3，2a)，AN2a)．
设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)， →??n1·AM＝－x＋3y＋2az＝0，
则?
→??n1·AN＝－x－3y＋az＝0，
?3a3a?
?， 取z＝1，则n1＝?，－
6，1??2
?3a3a?
?. 同理求得平面CMN的法向量n2＝?－，－
6，1??2
2π
因为∠AEC＝3是二面角A―MN－C的平面角，则
22
?9a3a??－4＋36＋1???1156
|cos∠AEC|＝9a23a2＝2，解得a＝10或a＝2(舍去)．(10分)
4＋36＋1因为MN＝a＋BD＝33，
135
则VM－NAC＝VM－EAC＋VN－EAC＝3S△EAC·MN ＝10.(12分) 19．(本小题满分12分)
在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名．
(1)求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望． 【解析】设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”，则
222π14391523123
＋12＝，AE＝，S＝××△EAC＝AEsin 2010323232＝
C1C24243
(1)P(A)＝C2＝5，P(B)＝C3＝5，(2分)
55
3?42?1－所以P(AB)＝P(A)P(B)＝5×?＝.(5分) 5???25
2C51
(2)P(C)＝C3＝2，(6分)
6X可能的取值为0，1，2，3，
2??3??1?3213?－－
P(X＝0)＝P(A B C)＝?1－5?×?1－5?×?1－2?＝5×5×2＝25，
??????
22133132119
P(X＝1)＝P(A －B －C)＋P(A BC)＋P(A －B C)＝5×5×2＋5×5×2＋5×5×2＝50，
23122133119
P(X＝2)＝P(A B C)＋P(AB C)＋P(A B C)＝5×5×2＋5×5×2＋5×5×2＝50，
2313
P(X＝3)＝P(A B C)＝5×5×2＝25.(10分) 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 319193P 25 50 50 25 3191933X的数学期望E(X)＝0×25＋1×50＋2×50＋3×25＝2.(12分) 20．(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D(0，2)为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|＝3|EF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为－3→·→的取值范围． ，求OAOB2
x2y2
【解析】(1)设椭圆C的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)．(1分)
2??4c
因为D(0，2)为椭圆短轴的一个端点，则b＝2.因为|DF|＝3|EF|，则点E?3，－3?.(3分)
??
16c21
因为点E在椭圆上，则9a2＋9＝1，即a2＝2c2.(4分)
22xy
又c2＝a2－4，则a2＝2(a2－4)，得a2＝8，所以椭圆C的标准方程是8＋4＝1. (5分) (2)解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)教师版数学(理)含解析
