13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字为0,1,2,2,现甲从中摸出一个球后便放回,乙再从中摸出一个球,若摸出的球上数字大即获胜(若数字相同则为2平局),则在甲获胜的条件下,乙摸1号球的概率为__5__.
【解析】法一:两人分别摸一个球,基本事件共有4×4=16种,其中甲获胜共有5种可能,5
故甲获胜的概率为16,其中乙摸到1号球且甲获胜有2种可能,故甲获胜且乙摸到1号球的概1152率为8,故在甲获胜的条件下,乙摸1号球的概率为8÷16=5.
法二:甲获胜共有5种可能,其中乙摸到1号球且甲获胜有2种可能,故在甲获胜的条件2
下,乙摸1号球的概率为5.
x2y2
14.设双曲线C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l为双曲线C的一条渐近线,点F关于直线l的对称点为P,若点P在双曲线C的左支上,则双曲线C的离心率为__5__.
【解析】如图,设直线l与线段PF的交点为A,因为点P与F关于直线l对称,则l⊥PF,且A为PF的中点,所以|AF|=b,|OA|=a,|PF|=2|AF|=2b.
设双曲线的左焦点为E,因为O为EF的中点,则|PE|=2|AO|=2a, 据双曲线定义,有|PF|-|PE|=2a,则2b-2a=2a,即b=2a.
?b?2
1+?a?=5. ??
所以e=
15.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图的方式“分裂”.仿此,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为__15__.
【解析】22=1+3,23=3+5,24=7+9,32=1+3+5,33=7+9+11,34=25+27+29.不难得出规律,2n可以表示为两个连续奇数之和;3n可以表示为三个连续奇数之和;5n可以表示为五个连续奇数之和;m3的可以表示为m个连续奇数之和,即211+213+…+[211+2(m-1)]=m3,m3-m2-210m=0,因为m>0,所以m=15.
ex+3a
16.设a为整数,若对任意的x∈(0,+∞),不等式x≥e恒成立,则a的最大值是__1__. ex+3ex(x-1)-3【解析】令f(x)=x(x>0),则f′(x)=.
x
令g(x)=ex(x-1)-3(x>0),则g′(x)=xex>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为g(1)=-3<0,g(2)=e2-3>0,则g(x)在(1,2)内只有一个零点. 设g(t)=0,则et=
3
.当x∈(0,t)时,g(x)<0,从而f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(t,+t-1
et+33
∞)时,g(x)>0,从而f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=t==et.
t-1
由题意知ea≤et,即a≤t.因为t∈(1,2),a为整数,所以a的最大值为1.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分. 17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足acos B+bcos A=2ccos C. (1)求角C的大小;
(2)若△ABC的周长为3,求△ABC的内切圆面积S的最大值. 【解析】(1)由已知,sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,(2分) 1
即sin(A+B)=2sin Ccos C,因为sin(A+B)=sin C>0,则cos C=2,(4分) π
又C∈(0,π),所以C=3.(5分)
π113
(2)设△ABC的内切圆半径为R,则2absin3=2·3R,则R=6ab,(6分) 由余弦定理,得a2+b2-ab=(3-a-b)2,化简得3+ab=2(a+b),(8分) 因为a+b≥2ab,则3+ab≥4ab,解得ab≥3或ab≤1,(10分)
若ab≥3,则a,b至少有一个不小于3,这与△ABC的周长为3矛盾;(11分) 3
若ab≤1,则当a=b=1=c时,R取最大值6.
?3?2π
所以△ABC的内切圆面积的最大值为Smax=π??=12.(12分)
?6?18.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,BM⊥平面ABCD,BM∥DN,BM=2DN,点E是线段MN上任意一点.
(1)证明:平面EAC⊥平面BMND;
2π
(2)若∠AEC的最大值是3,求三棱锥M-NAC的体积. 【解析】(1)因为BM⊥平面ABCD,则AC⊥BM.(2分)
又四边形ABCD是菱形,则AC⊥BD,所以AC⊥平面BMND. (4分) 因为AC在平面EAC内,所以平面EAC⊥平面BMND.(5分)
(2)设AC与BD的交点为O,连结EO. 因为AC⊥平面BMND,则AC⊥OE,又O为AC2AE2-AC22
的中点,则AE=CE,所以cos∠AEC=2AE2=1-AE2,∠AEC∈(0,π).
2π23
当AE最短时∠AEC最大,此时AE⊥MN,CE⊥MN,∠AEC=3,AE=3.(7分)
取MN的中点H,分别以直线OA,OB,OH为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设ND=a,
→=(-1,-3,a),AM→=(-1,3,
则点A(1,0,0),N(0,-3,a),M(0,3,2a),AN2a).
设平面AMN的法向量n1=(x,y,z), →??n1·AM=-x+3y+2az=0,
则?
→??n1·AN=-x-3y+az=0,
?3a3a?
?, 取z=1,则n1=?,-
6,1??2
?3a3a?
?. 同理求得平面CMN的法向量n2=?-,-
6,1??2
2π
因为∠AEC=3是二面角A―MN-C的平面角,则
22
?9a3a??-4+36+1???1156
|cos∠AEC|=9a23a2=2,解得a=10或a=2(舍去).(10分)
4+36+1因为MN=a+BD=33,
135
则VM-NAC=VM-EAC+VN-EAC=3S△EAC·MN =10.(12分) 19.(本小题满分12分)
在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.
(1)求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率;
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X,求X的分布列和数学期望. 【解析】设A表示事件“甲同学选中3号选手”,B表示事件“乙同学选中3号选手”,C表示事件“丙同学选中3号选手”,则
222π14391523123
+12=,AE=,S=××△EAC=AEsin 2010323232=
C1C24243
(1)P(A)=C2=5,P(B)=C3=5,(2分)
55
3?42?1-所以P(AB)=P(A)P(B)=5×?=.(5分) 5???25
2C51
(2)P(C)=C3=2,(6分)
6X可能的取值为0,1,2,3,
2??3??1?3213?--
P(X=0)=P(A B C)=?1-5?×?1-5?×?1-2?=5×5×2=25,
??????
22133132119
P(X=1)=P(A -B -C)+P(A BC)+P(A -B C)=5×5×2+5×5×2+5×5×2=50,
23122133119
P(X=2)=P(A B C)+P(AB C)+P(A B C)=5×5×2+5×5×2+5×5×2=50,
2313
P(X=3)=P(A B C)=5×5×2=25.(10分) 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 319193P 25 50 50 25 3191933X的数学期望E(X)=0×25+1×50+2×50+3×25=2.(12分) 20.(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点,F为椭圆C的右焦点,线段DF的延长线与椭圆C相交于点E,且|DF|=3|EF|.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之积为-3→·→的取值范围. ,求OAOB2
x2y2
【解析】(1)设椭圆C的方程为a2+b2=1(a>b>0),右焦点F(c,0).(1分)
2??4c
因为D(0,2)为椭圆短轴的一个端点,则b=2.因为|DF|=3|EF|,则点E?3,-3?.(3分)
??
16c21
因为点E在椭圆上,则9a2+9=1,即a2=2c2.(4分)
22xy
又c2=a2-4,则a2=2(a2-4),得a2=8,所以椭圆C的标准方程是8+4=1. (5分) (2)解法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m, 代入椭圆方程,得x2+2(kx+m)2=8,即(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)教师版数学(理)含解析
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