§3.1.1方程的根与函数的零点教案
一．教材分析：
函数的应用是学习函数的一个重要方面，与其他数学知识有着广泛的联系。学生学习函数的应用，目的是利用已有的知识分析问题和解决问题。本节内容是函数应用的第一节课。课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节的入口，其目的是让学生从熟悉的知识发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教材内容由易到难，循序渐进，符合学生的认知心理和认知规律。
二 ．学情分析：
在初中学生已经学习了二次方程和二次函数的有关内容，已经具备了判断根的个数以及求根的知识能力，本节课从学生熟悉的知识入手，符合学生的认知规律。但在学习中学生较多对知识的理解不够深刻，而且缺乏对探究问题的描述以及对知识的总结能力。
三 .教学目标：
1.知识与技能
（1）结合二次函数图像，使学生准确判断出一元二次方程根的存在性及个数； （2）通过探究让学生准确说出函数的零点与方程根的联系； （3）通过实例探究使学生能够完整说出零点存在性定理。 2.过程与方法
通过观察二次函数图像，并由函数在区间端点上的函数值之积的特点，让
学生能够找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法，进一步体会数形结合思想的应用。
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习，使学生体会数形结合的数学思想，从一般到特殊的思想，化归与转化的思想。从直观感受、师生合作交流、自主探索使学生体会到学会数学所带来的成功的喜悦。
四 .教学重点.难点：
重点：函数的零点与方程根之间的关系，连续函数零点的存在性定理。 难点：零点存在性的判定及数形结合的思想﹑转化思想在数学中的应用。
五、教学方法
主要采用引导探究的教学方式，运用观察、引导、多媒体辅助教学等形式展开教学，让学生在“探究问题——尝试练习——探索研究——总结归纳” 的过程中，体会数学基本思想的应用，从探究的过程中获取知识。
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六、教具准备：
三角板 多媒体
七、教学过程
教学过程与操作设计： 教学环教学 节 设置 2 1：一元二次方程ax+bx+c =0 (a?0)的解法： 判别式?= . 当? 0，方程有两根， 为 回顾复x1,2? ； 习 当? 0，方程有两等根，为 x0? ； 当? 0，方程无实根. 22：方程ax+bx+c =0 (a?0)的根与二次函数师生 互动 生：自主完成， 师：提问学生，引导学生说出准确答案，适时提出问题 设计 意图 复习旧知，引出问题，为探究新知做准备 y=ax2+bx+c (a?0)的图像之间有什么关系？ 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图像： 22y?x?2x?3 x?2x?3?0○1方程与函数22y?x?2x?1 x?2x?1?0○2方程与函数22y?x?2x?3 x?2x?3?0○3方程与函数 生：独立思考完成方程求根和二次函数画图过程 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 生：归纳得出结论 师：是否可以将结论进一步推广到y?f(x)吗？ 创 设 情 境 激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考与合作交流的能力 组 织 探 究 (1) 函数零点的概念： 对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点． 思考：函数y?f(x)的零点、方程f(x)?0的实数根、函数y?f(x)的图像与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？ 函数零点的意义： 函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图像与x轴交点的横坐标． 生：回答 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．提出问题引导进行探究。 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索几个等价关系 引起学生重视，培养概括总结的能力 2
即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点?函数y?f(x)有零点． 尝 试 练 习 （1） 试试： 师：给出问题，提示概念辨（1）函数y＝x+1的零点是 （ ） 学生用代数法来解决析 A(-1,0) B．(0,-1) 问题。 C．0 D．-1 生：尝试解决 2y?x?4x?3的零点为 . （2）函数 组 织 探 究 (2) 零点存在性的探索： 2f(x)?x?2x?3的图像： （Ⅰ）观察二次函数○1 在区间[?2,1]上有零点______； f(?2)?_______，f(1)?_______, f(?2)·f(1)_____0（＜或＞）． ○2 在区间[2,4]上有零点______； f(2)·f(4)____0（＜或＞）． （Ⅱ）观察下面函数y?f(x)的图像 ○1 在区间[a,b]上______(有/无)零点； 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考． 师：引导学生结合函数图像，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系． 生：结合函数图像，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的培养学生分析问题、解决问题的能力，以及他们与人交流合作、概括总结的能力 2
f(a)·f(b)_____0（＜或＞）． ○2 在区间[b,c]上______(有/无)零点； f(b)·f(c)_____0（＜或＞）． ○3 在区间[c,d]上______(有/无)零点； f(c)·f(d)_____0（＜或＞）． 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点． 零点存在性定理： 如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图像是_________的一条曲线，并且有_________，那么，函数y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)?0的根. 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) <0， 则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ） 例 题 研 究 例1．求函数f(x)?lnx?2x?6的零点个数． 条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用． 生:学生回答讨论 师：引导 师：引导学生探索判断函问题： 数零点的方1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 法，指出可以2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调借助计算机性具有什么特性？ 或计算器来 画函数的图 像，结合图像对函数有一个零点形成直观的认识． 生：借助计算机或计算器画出函数的图像，结合图像确定零点2
学以致用，一题多解，运用新知解决问题
所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数． 试试： xf(x)?e?4x?3的零点所在的区间为 函数尝 ( ) 试 11(?,0)(0,)练 A.4 B.4 习 （2） 1113(,)(,)C.42 D.24 1、零点概念 2、零点与x轴交点、方程的根的关系. 3、零点存在性定理 4、求函数y?f(x)的零点：（代数法）求方程师：给出问题，提示学生用数形结合的思想来解决问题。 生：尝试解决 体会数形结合思想的应用 提高学生的总师：引导学生总结本结归纳学习小节内容 f(x)?0的实数根；（几何法）对于不能用求根公生：通过讨论、交流的能力，结 提升自总结本节内容 式的方程，用函数的性质找出零点．可以将它与函身数学y?f(x)数的图像联系起来. 素养。 当堂检让学生做随堂检测题，限时五分钟，通过学生举手，生：做题，思考，判检测 目测 了解目标落实情况。 断 标是否 达成体 验探究的乐趣。
附：板书设计
§3.1.1方程的根与函数的零点 例1、 1、零点的概念 f(x)?lnx?2x?6求函数2、函数的零点与方程根的关系 的零点个数． 3、函数零点的存在性定理
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练习
人教A版数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 教案
