第十二章 无穷级数
一. 常数级数的审敛，常数级数的性质
收敛：
12.3下列级数中收敛的是( )； A．
???n?1n?1?n B．?n?1
n?1n?1??1???n?C．??? D．??1?n?
2?n?1?n?1?3n?2???111??解：n?1?n?，所以?n?1?n2n?12(n?1)n?1??n?1?n发散；
???11??11?发散，因为发散，所以发散，因此选C。 ????n?n?12?n?1n?1n?1?12.7 下列级数中收敛的是( ) A.
?n?1????1002n?11n B.? C.?n(|q|?1) D.?n 2n?1n?1qn?13n?13n?1解：
??1n11n1?，?发散；lim发散；|q|?1时，?，?n??3n?12n?13n?132n?12n?1n?1n?1n?1n?1??100210022limn??，?n(|q|?1)发散；limnn??1，?n收敛，所以选D。 n??qn??33n?13n?1q12.11 下列级数中收敛的是( )；
???1n211??A．? B．?n C．?ln(1?) D．??1?n?
3?nn?12n?1n?12n?1n?1??11(n?1)2ln(1?)2??n?11n11n?1，lim22??1，?n收敛；lim解：lim2n?1?，?发散；
n??n??n??11n22n?12n?1n?12nn2n??11??ln(1?)11?发散；发散，发散。所以选B。 ????n?3n?n?1n?1n?1??12.15 下列正项级数中收敛的是( )；
??n?2nn1A．? B．?n C．?ln(1?) D．?
nn?1n(n?1)n?12n?1n?12n?1???n?n1n1n1n??1解：lim发散；lim，收敛；?，?ln(1?)发散；?n?nn??n??2n?1222n?12n2n?1n?1n?12n?1?2n(n?2)(n?1)发散。所以选B。 lim?2?1；?n??2nn?1n(n?1)n(n?1)12.45 已知级数
??un?1?n?a，则级数?(un?un?1)的和s?
n?1????解：因为
?un?1n?a，所以?(un?un?1)??un??un?1?a?(a?u1)?u1，填u1。
n?1n?1n?1
绝对收敛：
12.13 下列级数中满足绝对收敛的是( )； A．?(?1)n?1??n?1???2nn1n?1nnn B． ?(?1)sin C．?(?1)n D．?(?1)n(n?1)2n?1n3n?1n?1n?1????2nn1nnn解：?、?sin、?发散，?n收敛，所以?(?1)n绝对收敛，选
nn?1n(n?1)3n?1n?12n?1n?1n?13C。
12.17 下列级数中绝对收敛的是( ) (A)
?n?1??(?1)n (B) n?1(?1)n ?n?1nn?1?(?1)n?1(C) ? (D)
n?1ln(n?1)解：因为由正项级数审敛法，
(?1)n ?nn?1??n?1????1111、?、?都发散，而?收
nln(n?1)n?1n?1n?1n?1nn?1(?1)n敛，所以?绝对收敛，选B。
nn?1n?1?12.21 下列级数中满足绝对收敛的是( )；
???n1nn1nnA． ?(?1) B．?(?1)sin C．?(?1) D．?(?1)n n?1n2nn?1n?1n?1n?1n?解：选D。
12.19 下列级数中条件收敛的是( )
(A)
?(?1)n?1??n?11 (B) n?(?1)n?1??n1 2nn(C) ?(?1) (D)
n?1n?1n?(?1)nn?11 n(n?1)解：作为交错级数
?(?1)n?1?n?11收敛，但不绝对收敛，因此，选A。 n12.23 下列级数中满足条件收敛的是( )；
???nn?11nnn1(?1)A．?(?1) B．?(?1) C． D． (?1)??2n2n?1n3n?1n?1n?1nn?1?n??nn?11nn(?1)解：?(?1)不收敛，?(?1)、绝对收敛，因此，选D。 ?2n2n?1n3n?1n?1n?1?n
发散：
12.2 下列级数级数中发散的是( ).
1(A) ?(1?cos) (B)
nn?1(n!)2(C) ? (D)
n?1(2n)!???2nsinn?1??1 3n1?n ?2n?11?n解：观察易知
1?n发散，选取D。 ?21?nn?1?12.10 下列级数中发散的是( ).
1(A) ?(1?cos) (B)
nn?1(n!)2(C) ? (D)
(2n)!n?1???2nsinn?1??1 n3?n?11 n解：观察易知
?n?1?1发散，选取D。 n12.5下列级数中发散的是( )
A.?n?1???1(?1)n B.?n(|q|?1) C.?n?1 D.?ln(1?n)
n(n?1)n?13n?1n?1q(?1)n?解：观察易知
?ln(1?n)发散，选取D。
n?1?
性质： 12.1 若级数
?un?1?n收敛，则下列级数不收敛的是( )．
(A)
?2un?1?n (B)
?(2?u) (C) 2??unn?1n?1?n??n (D)
?un?2?n
解：由收敛性质易知
?(2?u)不收敛，所以选B。
n?112.9 若级数?un收敛，则下列级数不收敛的是( )．
n?1?(A)
?10un?1?n (B)
?(10?u) (C) 10??unn?1n?1n??n (D)
n?10?u?n
解：由收敛性质易知
?(10?u)不收敛，所以选B。
n?1?12.20 若级数
??un?1?n收敛，则下列级数中发散的是( ).
(A)
?10un?1?n (B)
?un?1??n?10
(C) 10??un?1n (D)
?(10?u)
nn?1解：由收敛性质易知
?(10?u)不收敛，所以选D。
nn?1?12.4 如果级数A．必收敛
?un?1??n条件收敛，则
?|un?1??n| ( ).
D. 无法判断
B. 必发散 C. 不一定收敛
n解：由定义，
?un?1n条件收敛，则
?|un?1|必发散。所以选B。
12.12 如果级数
?un?1?n收敛，则极限limun( ).
n??A．存在 B. 不存在 C. 等于零 D. 无法判断
解：由性质，
?un?1?n收敛，则极限limun?0，所以选C。
n???12.16 如果任意项级数
?un?1?n绝对收敛，则下列说法正确的是 ( ).
A．
?un?1?n必发散 B.
?un?1n必收敛 C.
?|un?1?n|必发散 D.
?|un?1?n|不一定收敛
解：由概念，
?un?1??n绝对收敛，则
?un?1?n必收敛，所以选B。
12.18 若级数
?un?1n收敛，则lim(un?1)? ( ).
n??(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) ?1 解：由收敛性质，lim(un?1)??1，所以选D。
n??12.25 级数
?un?1?n的部分和数列{sn}有界是该级数收敛的( )；
(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 非充分非必要条件. 解：级数
?un?1?n的部分和数列{sn}有界是该级数收敛的必要非充分条件，如；
?(?1)n?1?n不收
敛，但部分和{sn}有界。所以选B。 12.29 若级数
?(1?u)收敛，则limunn?1?n??n?
解：由收敛必要条件：lim(1?un)?0，所以填limun?1。
n??n??12.36 若级数
?un?1?n收敛，则lim(un?un?2013)? n??2解：由收敛必要条件：limun?0，所以填2013。
n??12.42 limun?0是
n????un?1n?n收敛的 条件.
解：limun?0是
n???un?1收敛的必要条件，所以填“必要”。
第十二章-无穷级数(整理解答)
