立，于是??1,??2,??3 (8)
所以Ek?k??2L3 (9)
2. 由题意，杆的动能为Ek?Ek,c?Ek,r (10)
其中，Ek,c121L??mvc?(?L)???? (11) 22?2?2注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为面内转动，因而，杆在质心系中的动能Ek,r为Ek,r23L的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平23L2?L??2Ek(?,?,)?2k???? (12) 2?2?231?L??L?将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得k??L??L????2k??2?? (13)
2?2??2?1由此解得k? (14)
6于是Ek=1lw2L3. (15) 6L?3. 以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒Ek?mg??sin?? (16) ?2?由(15)、(16)式得w=以在杆上距O点为r处的横截面外侧长为?L?r?的那一段为研究对象，该段质量为??L?r?，其质心速L?r?L?r????度为vc. (18) ?r????22??设另一段对该段的切向力为T(以?增大的方向为正方向)， 法向(即与截面相垂直的方向)力为N(以指向O点方向为正向)，由质心运动定理得
T???L?r?gcos????L?r?at (19)
N???L?r?gsin????L?r?an (20)
3gsinq. (17) L式中，at为质心的切向加速度的大小
?L?rd?L?rd?d?3?L?r?gcos?dvc (21) ???dt2dt2d?dt4LL?r3?L?r?gsin?而an为质心的法向加速度的大小an??2. (22) ?22L由(19)、(20)、(21)、(22)式解得
?L?r??3r?L?T?mgcos? (23)24L ?L?r??5L?3r?N?mgsin? (24)
2L2评分标准：本题25分.
第1问5分， (2) 式1分， (6) 式2分，(7) 式1分，(8) 式1分；
第2问7分， (10) 式1分，(11) 式2分，(12) 式2分， (14) 式2分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分；
第3问13分，(16) 式1分，(17) 式1分，(18) 式1分，(19) 式2分，(20) 式2分，(21) 式2分，(22) 式2分，(23) 式1分，(24) 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.
at?
（30届复赛）四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成. 质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h. 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g. 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势Vmax.
参考解答：设在某一时刻球壳形容器的电量为Q. 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴
从带电液滴产生器 G出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有
Qq1Qq. (1) ?mv2?2mgR?kh?R2R式中，v为液滴在容器口的速率，k是静电力常量. 由此得液滴的动能为 12Qq(h?2R). (2) mv?mg(h?2R)?k2(h?R)R从上式可以看出，随着容器电量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为Qmax，则有
Qq(h?2R)(3) mg(h?2R)?kmax?0.
(h?R)Rmg(h?R)R由此得Qmax?. (4)
kqQ容器的最高电势为Vmax?kmax (5)
Rmg(h?R)由(4) 和 (5)式得Vmax?(6)
q评分标准：本题20分. (1)式6分， (2) 式2分，(3) 式4分，(4) 式2分， (5) 式3分，(6) 式3分.
d（30届复赛）五、（25分）平行板电容器两极板分别位于z??的平面内，电容器起初未被充电. 整
2个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿x轴负方向，如图所示.
1. 在电容器参考系S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度(0,v,0)（这里(0,v,0)表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S?中，可能既有电场?,Ey?,Ez?)又有磁场(Bx?,By?,Bz?). 试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S?中电场(Exmgh?k?,Ey?,Ez?)和磁场(Bx?,By?,Bz?)的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变. (Ex2. 现在让介电常数为?的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v，方向沿y轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S?中，由于液体处在第1问
?,Ey?,Ez?)中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中所述的电场(Ex?0(E?,E?,E?)，这里?0是真空?xyz的介电常数. 这将导致在电容器参考系S中电场不再为零. 试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差. （结果用?0、?、v、B或（和）d表出. ）
?,Ey?,Ez?)，而是出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(Ex
2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
