小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故
12121212mvD?mvC?mvA?mv0. (3) 22224lr8l2r2由 (1)、(2)、(3) 式解得vC?22v0,vD?22v0,vA??22v0 (4)
8l?r8l?r8l?r[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点v0?vD?vA. (3’) 同样可解出(4).
设碰撞过程中D对A的作用力为F1?，对A用动量定理有
4l2?r2F1??t?mvA?mv0??222mv0, (5)
8l?r方向与v0方向相反. 于是，A对D的作用力为F1的冲量为 4l2?r2F1?t?222mv0 (6)
8l?r方向与v0方向相同.
以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为x，则x?mr?m2l?2l?r. (7)
(??2)m??24l(2l?r)质心在碰后瞬间的速度为v?vCx?v0. (8) 22r(??2)(8l?r)轴与杆的作用时间也为?t，设轴对杆的作用力为F2，由质心运动定理有
4l(2l?r)F2?t?F1?t????2?mv?22mv0. (9)
8l?rr(2l?r)由此得F2?t?222mv0. (10)
8l?rr(2l?r)方向与v0方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为F2??t??222mv0, (11)
8l?r方向与v0方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.
[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理 F2?t?F1?t?mvC?mvD. ]
[也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ] 2. 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如
4lr果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度vC?22v0绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力，即
8l?r22v16lr2k?r???mC?222mv0(12) r(8l?r)
则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块A的速度v0应满足的条
(8l2?r2)k?r??v?件04lmr (13)
可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小v0应满足(13)式.
评分标准：本题20分.
第1问16分，(1)式1分， (2) 式2分，(3) 式2分，(4) 式2分， (5) 式2分，(6) 式1分，(7) 式1分，(8) 式1分，(9) 式2分，(10) 式1分，(11) 式1分；
第2问4分，(12) 式2分，(13) 式2分.
（30届复赛）三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，
m1. 令??表示细杆质量线密度. 当杆以角速度?绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动
L时，其转动动能可表示为
Ek?k????L?
式中，k为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等
时才相等. 由此求出?、?和?的值.
2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.
3. 试求当杆摆至与水平方向成?角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g.
提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t))是X(t)的函数，则Y(X(t))对t的导数为 dY(X(t))dYdX ?dtdXdt例如，函数cos?(t)对自变量t的导数为 dcos?(t)dcos?d? ?dtd?dt
参考解答：
1. 当杆以角速度?绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其动能是独立变量?、?和L的函数，按题意 可表示为Ek?k????L? (1)
式中，k为待定常数（单位为1）. 令长度、质量和时间的单位分别为[L]、[M]和[T]（它们可视为相互独立的基本单位），则?、?、L和Ek的单位分别为
[?]?[M][L]?1,[?]?[T]?1,[L]?[L], (2)
[Ek]?[M][L]2[T]?2在一般情形下，若[q]表示物理量q的单位，则物理量q可写为q?(q)[q] (3) 式中，(q)表示物理量q在取单位[q]时的数值. 这样，(1) 式可写为 (Ek)[Ek]?k(?)?(?)?(L)?[?]?[?]?[L]? (4) 在由(2)表示的同一单位制下，上式即 (Ek)?k(?)?(?)?(L)? (5)
[Ek]?[?]?[?]?[L]? (6)
将 (2)中第四 式代入 (6) 式得[M][L]2[T]?2?[M]?[L]???[T]?? (7)
(2)式并未规定基本单位[L]、[M]和[T]的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的[L]、[M]和[T]均成
2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛试题与答案
