指数函数及其性质教案
教学目标：、了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.
、根据函数的图像理解并掌握指数函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、特
殊点）.
、能运用指数函数的性质解决简单的问题. 教学重难点：
重点：指数函数的概念、性质及其简单应用
难点：指数函数的图像与性质 教学过程： 一、复习引入
问题：某种细胞分裂时，每次每个细胞分裂为个，则个这样的细胞第次分裂后变为个细胞，第次分裂后就得到个细胞，第次分裂后就得到个细胞……设第x次分裂后得到y个细胞，求y关于x的关系式。
问题：质量为的一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的，求这种物质的剩留量y关于时间x（单位：年）的关系式。
() y?2 (x?N) () y?()x (x?N)
思考：①y?2 (x?N)和y?()x(x?N)这两个解析式有什么共同特征？ （均是幂的形式；底数是常数；指数是自变量）
②它们能构成函数吗？
③是我们学过的函数吗？如果不是，你能根据该函数的特征给它起个恰当的名字吗？ ④你能根据上面两个函数关系给出一个一般性的定义吗？
（师：如果用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y?a的形式） 二、新知探究
1、 指数函数的概念
一般地，函数y?a(a?0且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 思考：在定义中，为什么要求a?0且a?1？
（引导学生讨论：a?0且a?1的理由）
注：规定底数a?0且a?1的理由
①若a?1,则y?1?1是一个常数函数，没有研究的必要性 ②若a?0当x?0时，a恒等于0；当x?0时，a无意义； ③若a?0,此如a??2，当x?xxxxxx*x*12*12*11，等时，在实数范围内函数值不存在。 42因此为了避免上述情况，规定a?0且a?1.
、指数函数概念的强化
练习：下列函数中，哪些是指数函数？
⑴y?3 ⑵y?2?3 ⑶y?4x
（）y?2x?1xx2 （）y?(2b?1)（b?1）
x解：根据指数函数的定义可知：⑴、（）是指数函数，其余不是指数函数 注：判断一个函数是否为指数函数y?a(a?0且a?1)的依据：
① 底数a：大于且不等于的常数.②指数必须是x的形式（化简后是x的形式）.
③a前面的系数是.
、指数函数的性质 思考：（）在研究函数时，一般要研究函数的哪些性质？(定义域、值域、单调性、奇偶性、最值)
（）用什么方法研究函数的这些性质？（图象法：从图象的变化情况来看函数的性质；代数
证明法）
x（）怎样才能得到指数函数的图象？（列表、描点、连线）
xx（）在同一坐标系下，作出函数y?2，y?3、 y?()，y?()的图像。
xx1213（）观察上述几个函数的图象，你能得到什么结论？能推广到一般情形吗？ 图 像 特 征 向x轴正负方向无限延伸 函数图象都在x轴上方 图象关于原点和y轴不对称 函数图像都经过()点 从左向右看，当a?1时图象逐渐上升； 当0?a?1时图象逐渐下降 图象分为两类： ①在第一象限内，图象的纵坐标都大于；在第二象限内，图象的纵坐标都小于 ②在第一象限内，图象的纵坐标都小于；在第二象限内，图象的纵坐标都大于 函 数 性 质 函数的定义域为 函数的值域为（，∞） 非奇非偶函数 a0?1 当a?1时，y?ax是增函数 当0?a?1时，y?ax是减函数 x??若x?0，则a?1当a?1时，? x??若x?0，则0?a?1x??若x?0，则0?a?1当a?1时，? x??若x?0，则a?1指数函数的性质：一般，指数函数y?a(a?0且a?1)图像与性质如下表所示：
xa 图 像 性 质 a?1 y0?a?1 y1ox 1o 定义域是,值域是（，∞） 非奇非偶函数 过点(0,1)即x?0时y?1 当x?0，则ax?1当x?0，则0?ax?1 当x?0，则0?ax?1 当x?0，则ax?1在上是增函数 三、知识的应用
在上是减函数 例：函数y?(a?3a?3)a是指数函数，求a的值
例：已知指数函数f(x)?a(a?0，且a?1)的图象经过点(3，?).求f(0)、f(1)、
x2xf(?3)的值
例：比较下列各题中的两个值的大小 ① 1.72.5与1.7②0.83?0.1与0.8?0.2③1.70.3与0.9
3.1小结：①构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)，若底数是参变量要注意分类讨论。②中间量比较法：用别的数如或做中间量。数的特征是不同底不同指。 变式训练：、已知a?0.812130.7b?0.80.9c?1.20.8，则a、b、c的大小关系是
、比较a和a的大小关系，其中a?0,且a?1 例：求下列函数的定义域
1①y?22x?1 ②y?82x?1 ③y?()12x?2
思考：这几个函数的值域是什么呢？ 四、课堂小结 、指数函数的定义
、指数函数的图象与性质 五、作业
教材 习题 组 、
人教版高中数学指数函数及其性质教案
