§7.4 直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理
文字语言一条直线与一个平面
判定定理
内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
Error!?a∥bError!?l⊥α
图形语言
符号语言
2.直线和平面所成的角(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：0，
[]2
π
.
3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言一个平面过另一
判定定理
个平面的垂线，则这两个平面垂直两个平面垂直，则
性质定理
一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
Error!?l⊥αError!?α⊥β
图形语言
符号语言
概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ )题组二 教材改编
2．(多选)下列命题中正确的有( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案 ABC
解析 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题组三 易错自纠
4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的( )A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m?α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是( )
B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
A．与AC，MN均垂直C．与AC不垂直，与MN垂直答案 A
B．与AC垂直，与MN不垂直D．与AC，MN均不垂直
解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，
因为OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，
则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
6．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN∥平面ABC
C．MN与BC所成的角为45°答案 AB
B．平面VAC⊥平面VBCD．OC⊥平面VAC
解析 易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.
直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2024·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
(1)证明 由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解 由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，
则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.
1
所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.
3思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1 (2024·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.
2024新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.4 - 图文
