高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式互动课堂学案 苏教版必修4
疏导引导
1.角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数的关系
在直角坐标系中，α与α+k·2π的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等，即
cos(α+k·2π)=cosα sin(α+k·2π)=sinα tan(α+k·2π)=tanα
(1)
利用公式（1），我们可把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π角的三角函数问题来研究.
2.角α与-α的三角函数间的关系
如下图所示，设单位圆与角α，角-α的终边的交点分别为P和P′，容易看出点P和点P′关于x轴对称，已知点P的坐标是（cosα,sinα）,则P′的坐标是（cosα,-sinα），于是得到
cos(-α)＝cosα sin(-α)=-sinα tan(-α)＝-tanα (2)
利用公式（2），我们可用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式（2）还可看出，余弦函数是偶函数，而正弦函数、正切函数都是奇函数. 3.角α与α+（2k+1）π(k∈Z)的三角函数间的关系
设角α与α+π的终边与单位圆分别交于点P和P′，如下图所示
容易看出，α+π与α-π,α+3π,α-3π,…α+(2k+1)π(k∈Z)的终边相同，则它们的三角函数值也相等，由点P与点P′关于原点对称，它们的对应坐标互为相反数，所以 cos［α+(2k+1)π］=-cosα
sin［α+(2k+1)π］=-sinα
tan［α+(2k+1)π］
1
=tanα (3)
疑难疏引 （1）由公式（1）和（3）可以看出，α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切、余切值相等，即
??sin?,当n为奇数,sin(α+nπ)=?
sin?,当n为偶数,?cos(α+nπ)= ???cos?,当n为奇数,
?cos?,当n为偶数,tan(α+nπ)=tanα,n∈Z. (2)由诱导公式（2）（3），我们可以得到两个互为补角三角函数的关系，α与π-α两角互补，则sin(π-α)＝sinα,cos(π-α)=-cosα，这就是说，两个互为补角的正弦值相等，余弦值是互为相反数，例如 sin?=sin
5633?15?3?=,cos?=-cos=?,cos?=-cos=?.
22626644(3)因为任意角都可化为α+kπ的形式，并使|α|＜
??，所以利用公式（1）（2）（3），我们可把任意角三角函数求值问题转化为0至之间的22角的三角函数求值问题. 公式（1）（2）（3）都叫做诱导公式.
利用诱导公式可求三角函数式的值或化简三角函数式. 4.α与α+
?的三角函数间的关系 2
如图所示，设α的终边与单位圆相交于点P（cosα,sinα）,α+点N（cos(α+
?的终边与单位圆相交于2??）,sin(α+))，又因为点P关于直线y=x的轴对称点M的坐标为M22（sinα,cosα）.
点M关于y轴的对称点的坐标为N（-sinα,cosα）.
点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于单位圆作了一次旋转，旋转的大小为（如图所示）：2（所以 cos(α+
??-α）+2α=. 42?)=-sinα 22
sin(α+
?)=cosα 2 (4)
在公式（4）中，以-α替代α，可得另一组公式
?)=sinα 2?sin(-α+)=cosα
2cos(-α+
(4′)
由三角函数之间的关系又可得
????)=-cotα,cot(α+)=-tanα,tan(-α+)=cotα,cot(-α+)=tanα. 2222??规律总结 规律总结我们知道任意一个角都可以表示为k·+α（其中|α|＜）的形式.
24?这样由公式（4）就可把任意角的三角函数求值问题转化为0—之间角的三角函数求值问
4tan(α+
题.
5.关于五组诱导公式必须注意的几个问题 （1）公式中的角α可以是任意角； （2）这五组诱导公式可以叙述为：
①α+k·2π,-α,α+(2k+1)π的三角函数值，等于a的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 为了便于记忆，也可简单地说成： “函数名不变，符号看象限”. ②α+
??,-α+的三角函数值，等于α的余名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角22是原函数值的符号，记忆口诀为： “函数名改变，符号看象限”. ③这两套公式可以归纳为：k·
?+α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函2数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为：“奇变偶不变、符号看象限”. 这里的奇偶是指k的奇偶. 活学巧用
【例1】确定下列三角函数值的符号：
217??；（2）sin（-760°）；（3）tan；（4）cos1 962°. 532121???解析：（1）因为cos?=cos（+4π）=cos，而是第一象限角，所以cos?＞
55555（1）cos
0.
（2）因为sin（-760°）=sin（-40°-2×360°）=sin（-40°），而-40°是第四象限角.所以sin（-760°）＜0. （3）因为tan
77????π=tan(+2π)=tan，而是第一象限角，所以tan＞0. 333333
（4）因为cos1 962°=cos（162°+5×360°）=cos162°，而162°是第二象限角，所以cos1 962°＜0.
【例2】 求下列各三角函数值: (1)sin(?19?37?);(2)cos(?);(3)tan(-405°). 36分析：可先利用公式（2）把负角的三角函数转化成正角的三角函数，再利用公式（1）把绝
对值大于2π（或360°）的角的三角函数转化成绝对值小于2π（或360°）的角的三角函数去求值.
解:(1)方法一:sin(?319?19???)=-sin=-sin(+6π)=-sin=-.
23333方法二:sin(?(2)cos(?319????)=sin(--6π)=sin(-)=-sin=-. 2333337?37???3)=cos=cos(+6π)=cos=; 66662cos(?337????)=cos(--6π)=cos(-)=cos=. 66662(3)tan(-405°)=-tan405°=-tan(45°+360°)=-tan45°=-1;
tan(-405°)=tan(-45°-360°)=tan(-45°)=-tan45°=-1. 【例3】 求下列三角函数式的值: (1)sin495°·cos(-675°); (2)3sin(-1 200°)·tan(-
37??)-cos585°·tan(?).
46解析：（1）sin495°·cos（-675°）
=sin（135°+360°）·cos675°=sin135°·cos315°
=sin（180°-45°）·cos（360°-45°）=sin45°·cos45° =
221×=. 2223711?-cos585°·tan（??）
431137cos?sin(??)3-cos585°·4=-3sin1 200°· 1137sin?cos(??)3455cos(??2?)sin(??4?2?)34=-3sin（120°+3×360°）·+cos（225°+360°）·
55cos(??4?2?)sin(??2?)43cos300?sin225?=-3sin120°·+cos225°·
sin300?cos225?（2）3sin（-1 200°）·cot
4
=-3sin（180°-60°）·
cos(360??60?)+sin（180°+45°）
sin(360??60?)=-3sin60°·
cos60??sin45?
?sin60?12??223?2. 2=3cos60°-sin45°=3?【例4】求sin（2nπ+
2?4）·cos（nπ+?）的值（n∈Z）. 33解析：（1）当n为奇数时， 原式=sin
2?4???·（-cos）=sin（π-）［-cos（π+）］ 3333=sin
313????·cos=.
43322（2）当n为偶数时, 原式=sin
2?4???·cos=sin（π-）·cos（π+） 3333=sin
331??（-cos）=×（-）=?.
242333， 4综上知：当n为奇数时，原式=
当n为偶数时，原式=?3. 4【例5】 已知sin（π+α）=lg1310，求tan（α-
3?）的值. 2解析：∵sin（π+α）=-sinα, 又∵lg1310=?1, 3∴sinα=
1＞0，可知α是第一、二象限的角. 322, 3若α终边在第一象限，则cosα=
3??sin(???)?sin[??(??)]sin(??)3cos?222∴tan（α-?）=?????22.
3??2cos(???)cos[??(??)]?cos(??)?sin?222
5
高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式互动课堂学案 苏教版必修4
