圆，生成小时，游轮在线段上的点处，令，求得
，
得结果. 【详解】
（1）以点为坐标原点，直线则由题设得：
，直线
，利用导数证明，即恒成立，从而可
为轴，建立直角坐标系如图所示．
，
，
的方程为
由直线
，及的方程为
得，即
， ，
由得即，
的长为
．
，即水上旅游线
（2）设试验产生的强水波圆，生成小时，游轮在线段
上的点处，
则，，，
令，则，，
，
，
，，
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由得或（舍去）
+ -
，
时，，即恒成立，
亦即强水波不会波及游轮的航行． 【点睛】
本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及直线方程、点到直线距离公式以及利用导数研究函数的单调性求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 20．已知函数（1）求曲线（2）证明：当（3）当【答案】（1）【解析】
在点时，曲线时，不等式
；（2）证明见解析；（3）
.
，
.
处的切线方程；
恒在曲线
的下方；
恒成立，求实数的取值范围.
（1）求出
利用点斜式可得曲线在曲线
,求出在点
的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，
时，曲线
恒， 则
处的切线方程；(2)要使得当
，不妨设
的下方，即需证
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，利用导数证明
可知构造函数
，可得不等式
取得最大值即可得结果；(3)由题意
，
可转化为
，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明
的最大值小于零，从而可得结论. 【详解】
（1）故切线方程是(2)要使得当即需证不妨设
，. 时，曲线
， ， 则
，
恒在曲线的下方，
，
，
令
在又
在即当当当
，
单调递减，v
时，
上单调递增，在时，时，时，曲线
取得最大值
，即恒在曲线，
可转化为
， ；当
恒成立，^
时，，
上单调递减， ，
， 的下方，
(3)由题意可知不等式构造函数
，
，
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在二次函数且过定点得①当此时当当记为由
得时，
，解得(舍去），时，即
时，
中，开口向下，对称轴
， . ， 时,
；
，
(舍去）或
；
取得最大值，
， ，
，
而当当
在只有②当当即当③当当
在由（2)可知当
时，时，
，即，即
在在，
上递减，
，
上递增，
处取得最小值符合条件，此时解得
，不合条件，舍去;
时，解得时，时，时，解得时，
，
在
时取得最大值
，
恒成立，原不等式恒成立； ， ，
时取得最大值，记为的图象与时，
的图象相同，
，原不等式恒成立； .
，
综上所述，实数的取值范围是【点睛】
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本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
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2019届江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题（解析版）
