高一上学期期末考试数学试题
一、选择题：（每小题5分，共40分）．
1．已知集合M?{x|logx2?1},N?{x|x?1},则M?N=
A．{x|0?x?2} B． {x|0?x?1} C．{x|x?1}
D．?
（ ）
2．已知直线ax+y+a-1=0不经过第一象限，则与该直线垂直的直线的倾斜角的取值范围（ ） A???3????3????????,? B?,? C?0,? D?0,? ?24??24??4??4?3．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为
A．48?
B．34?
?x
C．45?
（ ）
D．37?
4．当a?1时，在同一坐标系中函数y?a与y?logax的图像是 （ ）
5．正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 （ ）
A B C D 6．已知m、l是直线, 是平面, 给出下列命题:
①若l垂直于内的两条相交直线, 则;②若l平行于, 则l平行内所有直线; ③若; ④若; ⑤若∥l．
其中不正确的命题的序号是（ ）
A ①②③ B①②④ C ②③④ D ②③⑤
7．设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数，若对任意的x?[a,b]，都有
|f(x)?g(x)|?1,则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f(x)?x2?3x?4与g(x)?2x?3在[a,b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]
8．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②?x?R，有f(x?2)?2f(x)；③当x?[?1,1]时，
f(x)??|x|?1．则方程f(x)?log4|x|在区间[?10,10]内的解个数是（ ）
A．20 B．12 C．11 D．10 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共35分）． 9．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么它们的位置关系式
1x2?x?610．已知集合A?{x|()?1},B?{x|log4(x?a)?1},若A?B??，则实数a∈ 211．求过点P（6，－4）且被圆x?y?20截得长为62的弦所在的直线方程 12. 已知两定点A(－3，5)，B(2，15)，动点P在直线3x+4y+9＝0上，当PA＋PB 取
A 最小值时，这个最小值为
13. 如图所示，四边形BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE, 则图中互相垂直的平面有 对。
C B E
2222?D 14．若直线2x?y?2?0经过圆C:x?y?2ax?4by?1?0(a,b?R)的圆心，则
(a?1)2?(b?1)2的最小值是 。
15. 当n为正整数时，定义函数N (n)表示n的最大奇因数．如N (3) = 3，N (10) = 5，…．
记S(n)?N(1)?N(2)?N(3)?L?N(2n)．
则（1）S(4)? ．（2）S(n)? ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)． 16．（12分）已知两条直线l1 = x + my + 6 = 0, l2: (m－2)x + 3y + 2m = 0，问：当m为何值时, l1与l2(i)相交; (ii)平行; (iii)重合． 17．（12分）当前环境问题已成为问题关注的焦点，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱
18．（12分）自点P（－3，3）发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆
x2?y2?4x?4y?7?0相切，求入射光线l所在直线的方程．
19．（13分）已知方程x?y?2(t?3)x?2(1?4t)y?16t?9?0(t?R)的图形是圆. （1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的圆的方程．
20．（13分）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=2a， （1）求证：PD⊥平面ABCD； （2）求证，直线PB与AC垂直； （3）求二面角A－PB－D的大小；
21．（13分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x?2x?b?x?R?的图象与两
22224坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
高一数学期末测试题参考答案
二、9、α∥β或α与β相交；10、[1，2] 11．7x?17y?26?0或x?y?2?0 12．55；
14n?213．7；14．； 15、86、
3217．解: (1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，200t140t200t200t由题意可知，W＝×2.8＝(t≥0且t∈N)， ×3≤P≤×3 (t≥0且t∈N)，
1231615140t即37.5t≤P≤40t.又>40t，即W>P，所以使用液化气比使用汽油省钱．
3
140t(2)①设37.5t＋5000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N，∴t＝546.②设40t＋5000
3＝
140t，解得t＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]时，省出的钱3
等于改装设备的钱.
18．解：设入射光线l所在的直线方程为
y?3?k(x?3)，反射光线所在
直线的斜率为k1，根据入射角等于反射角，得
k??k1，而点P（－3，3）关于x轴的对称点P1（－3，－3），根据对称性，点P1在
反射光线所在
直线上，故反射光线所在直线l1的方程为：y?3??k(x?3)即kx?y?3?3k?0，又此直线
与已知圆相切，所在圆心到直线l1的距离等于半径r，因为圆心为（2，2），半径为1，
所以
2k?2?3?3k1?k2?1解得：k??或k??344故入射光线l所在的直线方程为： 3
34y?3??(x?3)或y?3??(x?3) 即3x?4y?3?0或4x?3y?3?0
4321 【解析】（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f?x??x?2x?b?0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
22（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x?y?Dx?Ey?F?0
222令y＝0 得x?Dx?F?0这与x?2x?b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b． 令x＝0 得y?Ey?F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．
2
湖南省龙山县皇仓中学高一数学上学期期末考试试题(尖子班)湘教版
