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第三讲 三角函数的图象及性质
A组 一、
选择题
π??
1．已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像
3??
( )
π?π，0?
A．关于点?对称 B．关于直线x＝对称 ?
4?3?
π?π?
C．关于点?，0?对称 D．关于直线x＝对称
3?4?
【答案】A
π???π?【解析】 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin?2x＋?，因为f??＝0，所以函数图像关
3???3?
?π?
于点?，0?中心对称，故选A.
?3?2.要得到函数y?cos(2x?1)的图像，只要将函数y?cos2x的图像（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移
【答案】C
【解析】因为y?cos(2x?1)?cos(2(x?),所以将y?cos2x向左平移
11 个单位 D.向右平移 个单位 22121个单位,故2选C.
π
3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且
2
f(0)＝3，则( )．
1π
A．ω＝，φ＝
26π
C．ω＝2，φ＝
6
【答案】 D
1π
B．ω＝，φ＝
23π
D．ω＝2，φ＝
3
2π
【解析】由T＝＝π，∴ω＝2.由f(0)＝3?2sin φ＝3，
ω∴sin φ＝
3ππ，又|φ|＜，∴φ＝. 223
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π
4．将函数y＝f(x)·sin x的图像向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到
4函数y＝1－2sin2x的图像，则f(x)可以是( )．
A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x
【答案】D
【解析】运用逆变换方法：作y＝1－2sinx＝cos 2x的图像关于x轴的对称图像得y＝
2
π?π?
－cos 2x＝－sin 2?x＋?的图像，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin x＝－sin
4?4?
?π?2?x＋?＝sin 2x＝2sin xcos x的图像．∴f(x)＝2cos x.
2??
π5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)
2的图像如图所示，则当t＝
1
秒时，电流强度是( ) 100
A．－5安 B．5安 C．53安 D．10安
【答案】A
T411
【解析】：由函数图像知A＝10，＝－＝.
2300300100
12π
∴T＝＝，∴ω＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．
50ω又∵点?
1?1，10???
在图像上，∴10＝10sin ?100π×＋φ? ?300?300???
π?πππ?
∴＋φ＝，∴φ＝，∴I＝10sin ?100πt＋?.
6?326?1π?1?
当t＝时，I＝10sin ?100π×＋?＝－5.
1006?100?
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小π
正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )．
2A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
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D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
【答案】 A
1π1π
【解析】 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×
3232＋φ＝
πππ
＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝233
?xπ?2sin?＋?，由此函数图像易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，
?33?
－π]或[3π，5π]上均不是单调的，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
π
7．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得
3的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )．
1
A. B．3 C．6 D．9 3
【答案】 C
π?π?【解析】依题意得，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的是f?x－?＝cos
3?3?ωπ??π??
ω?x－?＝cos?ωx－?
3?3???
ωπ?ωπ???的图像，故有cos ωx＝cos?ωx－，而cos ωx＝cos?2kπ＋ωx－??(k∈Z)，
3?3???ωπ??
故ωx－?ωx－?＝2kπ(k∈Z)，
3??
即ω＝6k(k∈Z)，∵ω＞0，因此ω的最小值是6.
2，则f(0)=( )
232211A.? B. C.－ D.
33228.已知函数f(x)=Acos(?x??)的图象如图所示，f()???
【答案】 B
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2π
【解析】由图象可得最小正周期为
3
2π2ππ7π
于是f(0)＝f(),注意到与关于对称
33212
2ππ2 所以f()＝－f()＝
323
二、
填空题
π4π??
9. 将函数y＝sin(ωx＋φ)?ω>0，<φ<π?的图像，向右最少平移个单位长度，
23??
2π
或向左最少平移个单位长度，所得到的函数图像均关于原点中心对称，则ω＝
3
________.
1
【答案】 2
【解析】因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有
T4π?2π?2π1＝－?－?＝2π，故T＝4π，即＝4π，ω＝. 23?3?ω2
ππ??
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，－≤φ≤?的图像上的两个相邻的最高点
22??
和最低点的距离为22，则ω＝________.
π
【答案】：
2
【解析】：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f(x)max－f(x)min＝2，由勾股
T2ππ22
定理可得＝?22?－2＝2，∴T＝4，∴ω＝＝.
2T2
11．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
9
【答案】：π
10
T3
【解析】由图可知，＝2π－π，
24
52π54∴T＝π，∴＝π，∴ω＝，
2ω25
4
∴y＝sin(x＋φ)．
5
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43
又∵sin(×π＋φ)＝－1，
543
∴sin(π＋φ)＝－1，
533
∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z. 52
9
∵－π≤φ<π，∴φ＝π.
10 三、
解答题
12.△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时,cosA?2cos求出这个最大值.
【解析】：由A?B?C??,得B?C???A,
222B?C取得最大值,并2
所以有 cosB?CA?sin. 22B?CA?cosA?2sin 2222 cosA?2cos ?1?2sin2A?2sinA ??2(sin
当sinA123?)?. 222A1?B?C3?,即A?时,cosA?2cos取得最大值. 2232213.已知函数f(x)=sin2x+3xcosx+2cos2x,x?R.
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
【解析】（1）f(x)=
1?cos2x3?sin2x?(1?cos2x) 22 =
313sin2x?cos2x? 222?3)?. 622?∴f(x)的最小正周期T==π.
2??由题意得2kπ-≤2x+,k∈Z,
26 =sin(2x+
必修四第03讲 三角函数的图象及性质（修）
