解：系统的开环传函 G(s)H(s)?10(1?kss)，其闭环特征多项式为D(s)
s(s?2)（1分）以不含ks的各项和除方程两边，得 D(s)?s2?2s?10kss?10?0，
10kssK**??1 ，令 10ks?K，得到等效开环传函为 2??1 （2分）
s2?2s?10s?2s?10参数根轨迹，起点：p1,2??1?j3，终点：有限零点 z1?0，无穷零点 ?? （2分） 实轴上根轨迹分布： ［－∞，0］ （2分）
d?s2?2s?10?实轴上根轨迹的分离点： 令 ???0，得
ds?s? s2?10?0,s1,2??10??3.16
合理的分离点是 s1??10??3.16，（2分）该分离点对应的根轨迹增益为
s2?2s?10K?ss??*1*K1?4.33，对应的速度反馈时间常数 ks??0.433（1分） 1010根轨迹有一根与负实轴重合的渐近线。由于开环传函两个极点p1,2??1?j3，一个有限零点z1?0
且零点不在两极点之间，故根轨迹为以零点z1?0为圆心，以该圆心到分离点距离为半径的圆周。
根轨迹与虚轴无交点，均处于s左半平面。系统绝对稳定。根轨迹如图1所示。（4分） 讨论ks大小对系统性能的影响如下：
（1）、当 0?ks?0.433时，系统为欠阻尼状态。根轨迹处在第二、三象限，闭环极点为共轭的复数极点。系统阻尼比?随着ks由零逐渐增大而增加。动态响应为阻尼振荡过程，ks2增加将使振荡频率?d减小（?d??n1??），但响应速度加快，调节时间缩短
（ts?3.5??n）。（1分）
（2）、当ks?0.433时（此时K?4.33)，为临界阻尼状态，动态过程不再有振荡和超调。（1分）
* 16
（3）、当ks?0.433(或K*?4.33)，为过阻尼状态。系统响应为单调变化过程。（1分）
图1 四题系统参数根轨迹
五、已知系统开环传递函数为G(s)H(s)?判据判断系统稳定性。
解：由题已知： G(s)H(s)?系统的开环频率特性为
k(1??s),k,?,T均大于0 ，试用奈奎斯特稳定
s(Ts?1)K(1??s),K,?,T?0，
s(Ts?1)K[?(T??)??j(1?T??2)]G(j?)H(j?)?
?(1?T2?2)??0?,A?(0??)??（2分）
开环频率特性极坐标图 起点： 终点：
,?(?00；)（1分）90（1分）???,A?(?)?0?,?(?)0；270
2与实轴的交点：令虚频特性为零，即 1?T???0 得 ?x?1 （2分） T?实部
G(j?x)H(j?x)??K?（2分）
－K? －1 开环极坐标图如图2所示。（4分）
由于开环传函无右半平面的极点，则P?0 当 K??1时，极坐标图不包围 （－1，j0）点，系统稳定。（1分） 当 K??1时，极坐标图穿过临界点 （－1，j0）点，系统临界稳定。（1分） 当 K??1时，极坐标图顺时针方向包围 （－1，j0）点一圈。
??0? 图2 五题幅相曲线 N?2(N??N?)?2(0?1)??2
按奈氏判据，Z＝P－N＝2。系统不稳定。(2分) 闭环有两个右平面的极点。
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六、已知最小相位系统的对数幅频特性如图3所示。试求系统的开环传递函数。(16分) L(ω) dB -40 R(s) C(s) K20 -20 一 s(s?1)ω ω2 -10 1 ω1 10 -40 图4 图 3 解：从开环波特图可知，系统具有比例环节、两个积分环节、一个一阶微分环节和一个惯性环节。
K(故其开环传函应有以下形式 G(s)?1?11s?1) (8分)
s(2?2s?1)由图可知：??1处的纵坐标为40dB, 则L(1)?20lgK?40, 得 K?100 (2分) 又由
???1和?=10的幅值分贝数分别为20和0，结合斜率定义，有
20?0??40，解得 ?1?10?lg?1?lg10
3. rad/s16 (2分)
同理可得
?20?(?10)??20 或 20lg2?30 ，
lg?1?lg?2?12?2?1000?12?10000 得 ?2?100 rad/s (2分)
故所求系统开环传递函数为
s?1)10 G(s)? (2分) s2s(?1)100100(
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三、写出下图所示系统的传递函数
C(s)（结构图化简，梅逊公式均可）。 R(s)C(s)?解：传递函数G(s):根据梅逊公式 G(s)?R(s)?P?ii?1ni? （2分）
3条回路:L1??G1(s)H1(s),L2??G2(s)H2(s)，L3??G3(s)H3(s) （1分） 1对互不接触回路:L1L3?G1(s)H1(s)G3(s)H3(s) （1分）
??1??Li?L1L3?1?G1(s)H1(s)?G2(s)H2(s)?G3(s)H3(s)?G1(s)H1(s)G3(s)H3(s)i?13（2分）
1条前向通道: P1?G1(s)G2(s)G3(s), ?1?1 （2分）
?G(s)?G1(s)G2(s)G3(s)?C(s)P?11?R(s)?1?G1(s)H1(s)?G2(s)H2(s)?G3(s)H3(s)?G1(s)H1(s)G3(s)H3(s)四、(共15分)已知某单位反馈系统的闭环根轨迹图如下图所示
1、写出该系统以根轨迹增益K*为变量的开环传递函数；（7分） 2、求出分离点坐标，并写出该系统临界阻尼时的闭环传递函数。（8分）
j??2 1 × × -2 -1 -1 -2 ??1 2 解：1、由图可以看出，系统有1个开环零点为：1（1分）；有2个开环极点为：0、-2（1分），而且为零度根轨迹。
由此可得以根轨迹增益K*为变量的开环传函 G(s)?（5分）
?K*(s?1)K*(1?s)?
s(s?2)s(s?2) 19
2、求分离点坐标
111??，得 d1??0.732, d2?2.732 （2分） d?1dd?2**分别对应的根轨迹增益为 K1?1.15, K2?7.46 （2分）
分离点d1为临界阻尼点，d2为不稳定点。
单位反馈系统在d1（临界阻尼点）对应的闭环传递函数为，
K*(1?s)G(s)K*(1?s)?1.15(s?1)s(s?2)???2 ?(s)?（4分）
K*(1?s)1?G(s)1?s(s?2)?K*(1?s)s?0.85s?1.15s(s?2)五、系统结构如下图所示，求系统的超调量?%和调节时间ts。（12分）
R(s) 25 s(s?5)C(s) 解：由图可得系统的开环传函为：G(s)?25 （2分）
s(s?5)因为该系统为单位负反馈系统，则系统的闭环传递函数为，
25G(s)2552s(s?5)?(s)????2 （2分） 21?G(s)1?25s(s?5)?25s?5s?5s(s?5)2?n与二阶系统的标准形式 ?(s)?2 比较，有 2s?2??ns??n??2??n?5 （2分） ?22???n?5???0.5解得? （2分）
??5?n所以?%?e???/1??2?e?0.5?/1?0.52?16.3% （2分）
?3?1.2s （2分）
0.5?5 ts?或ts?
3??n4??n?43.53.54.54.5?1.6s，ts???1.4s，ts???1.8s
0.5?5??n0.5?5??n0.5?5六、已知最小相位系统的开环对数幅频特性L0(?)和串联校正装置的对数幅频特性Lc(?) 20
自动控制原理试卷有参考答案
