第21课 二次函数
本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性质及应用，能根据具体问题求二次函数的解析式，二次函数的应用。广东省近5年试题规律：二次函数是必考内容，选择题形式一般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二次函数问题，是数形结合思想的典例。
知识清单
知识点一
二次函数的概念
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是概念 自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数 知识点二 二次函数的图象和性质
函数 a 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) a＞0 a＜0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 抛物线开口向上 b直线x＝－ 2ab4ac－b2(－，) 2a4a4ac－b2b当x＝－时，y有最小值为. 2a4ab在对称轴的左侧，即当x＜－2a时，y增减性 抛物线开口向下 b直线x＝－ 2ab4ac－b2(－，) 2a4a4ac－b2b当x＝－时，y有最大值为. 2a4ab在对称轴的左侧，即当x＜－时，y2a 随x的增大而减小；在对称轴的右侧，随x的增大而增大；在对称轴的右侧，bby随x的增大而减小，即当x＞－2a时，y随x的增大而增大，即当x＞－2a时，简记左减右增． 简记左增右减. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c是常数)的位置与a，b，c的关系 字母的符号 a＞0 开口向上 图象的特征 |a|越大开口越小. 1
知识点三 字母或 代数式 a
a＜0 b＝0 b ab＞0(b与a同号) ab＜0(b与a异号) c＝0 c c＞0 c＜0 b2－4ac＝0 b2－4ac b2－4ac＞0 b2－4ac＜0 特殊 关系 开口向下 对称轴为y轴. 对称轴在y轴左侧. 对称轴在y轴右侧. 经过原点. 与y轴正半轴相交. 与y轴负半轴相交. 与x轴有一个交点(顶点). 与x轴有两个交点. 与x轴没有交点. 当x＝1时，y＝a+b+c. 当x＝－1时，y＝a－b+c. 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0. 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y＜0. 知识点四 二次函数平移规律 形如y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k形式的函数图象可以相互平移得到，自变量加减左右移，函数值加减上下移，简单记为：上加下减，左加右减. 知识点五 确定二次函数的解析式 方法 一般式 顶点式 交点式 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c. 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k. 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2). 知识点六 二次函数与方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 知识点七 二次函数的实际应用 (1)通过阅读理解题意； (2)分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系； (3)依据数量关系或图形的有关性质，列出函数关系式； (4)根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围； (5)利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定函数的最大(小)值； (6)检验结果的合理性，获得问题的答案. 步骤 课前小测
1．（顶点坐标）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）
B．（﹣2，3）
C．（﹣2，﹣3）
D．（2，﹣3）
2．（对称轴）抛物线y=x2﹣2x﹣1的对称轴是（ ）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=2
D．x=﹣2
3．（最值）抛物线y=（x﹣1）2+3（ ）
2
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
4．（最值）二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是（ ）
A．﹣7
B．5
C．0
D．9
5．（平移规律）将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位 C．向上平移2个单位
B．向右平移2个单位 D．向下平移2个单位
经典回顾
考点一 二次函数的图象与性质
【例1】（2019?重庆）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ） A．直线x＝2
B．直线x＝﹣2
C．直线x＝1
D．直线x＝﹣1
【点拔】本题考查了二次函数的性质．抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
【例2】（2019?遂宁）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（ ）
A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8） C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【点拔】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型． 考点二 二次函数与一次函数综合
【例3】（2018?广东）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）
3
与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B． （1）求m的值；
（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拔】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． 对应训练
1．（2019?衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3）
B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3）
D．（﹣1，﹣3）
2．（2019?温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
3．（2019?荆门）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（ ）
4
A．ac＜0
B．b2﹣4ac＞0
C．2a﹣b＝0
D．a﹣b+c＝0
5．（2019?永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
中考冲刺
夯实基础
1．（2019?益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ） A．y＝4x
B．y＝﹣4x
C．y＝x﹣4
D．y＝x2
2．（2019?哈尔滨）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A．y＝2（x+2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3
B．y＝2（x﹣2）2+3 D．y＝2（x+2）2﹣3
3．（2019?兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ） A．2＞y1＞y2
B．2＞y2＞y1
C．y1＞y2＞2
D．y2＞y1＞2
4．（2019?河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
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2020年中考数学第一轮复习专题 第21课 二次函数（含答案）
