2024届中考数学一轮复习讲义 考点十：方程(组)的应用
聚焦考点☆温习理解 1．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审题； (2)设未知数；
(3)找出包含未知数的等量关系式； (4)列出方程(组； (5)求出方程(组)的解； (6)检验并作答．
2．各类应用题的等量关系 (1)行程问题：路程＝速度×时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程；
追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程． (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间． (3)几何图形问题
面积问题：体积问题还有其他几何图形问题：如线段、周长等
(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系表示为：a(1±x)n=A (5)利润问题 利润=销售价-进货价 利润率=
利润
进货价销售价=(1+利润率)×进货价 (6)利息问题
利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息
名师点睛☆典例分类 考点典例一、二元一次方程的应用
【例1】(2024?湖北省仙桃市?3分)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有( ) A．3种
B．4种
C．5种
D．9种
【分析】可列二元一次方程解决这个问题． 【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得： a+2b＝9， ∵a、b均为整数， ∴
，
，
，
．
故选：B．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键． 【举一反三】
(2024?黑龙江省绥化市?3分)小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有( ) A．5种 答案：C
考点：二元一次方程，不等式。
解析：设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y， 则x?2y?10， 即y?5－B．4种
C．3种
D．2种
x， 2满足条件：x≥1，y≥1，x＞y， 当x＝2时，y＝4，不符合； 当x＝4时，y＝3，符合； 当x＝6时，y＝2，符合； 当x＝8时，y＝1，符合； 共3种购买方案。
考点典例二、二元一次方程组的应用
【例2】(2024?山东临沂?3分)用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制
成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共 11 块．
【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，根据“用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关于x，y的二元一次方程组，用(①+②)÷5可求出x+y的值，此题得解．
【解答】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块， 依题意，得：
(①+②)÷5，得：x+y＝11． 故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【举一反三】
(2024?四川省广安市?8分)为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元． (1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】(1)根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
(2)根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，
， ，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
(2)设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯(200﹣a)只，费用为w元， w＝5a+7(200﹣a)＝﹣2a+1400， ∵a≤3(200﹣a)， ∴a≤150，
∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50， 答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键
是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
考点典例三、分式方程的应用
【例3】(2024?四川省达州市?7分)端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？ 【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个， 依题意，得：解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意． 答：这种粽子的标价是8元/个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【举一反三】
(2024年云南)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
【解析】
解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.根据题意得
+
＝27，
240270??1 x1.5x解得x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解. 1.5x＝90.
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h
考点典例四、一元二次方程的应用
【例4】(2024?广东广州?12分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2024年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． (1)计划到2024年底，全省5G基站的数量是多少万座？
(2)按照计划，求2024年底到2024年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】(1)2024年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
(2)设2024年底到2024年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2024年底及2024年底全省
5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：(1)1.5×4＝6(万座)．
答：计划到2024年底，全省5G基站的数量是6万座．
(2)设2024年底到2024年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x， 依题意，得：6(1+x)2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7(舍去)．
答：2024年底到2024年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【举一反三】
1、(2024江苏省扬州市中考模拟)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】衬衫的单价降了15元． 【解析】
试题分析：设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
试题解析：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 (20+2x)(40﹣x)=1250， 解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元． 考点：一元二次方程的应用．
2、(2024广东省广州市花都区一模)我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm(如图)． (1)若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；
(2)对(1)中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？(注：1升水=1000cm3水)
2024届中考数学一轮复习讲义第10讲 方程(组)的应用(解析版)
