拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件
学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．充分条件与必要条件 命题真假 推出关系 条件关系 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 p?q p是q的充分条件 q是p的必要条件 p?/q p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q (2)等价 2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件． (2)若p?q，但q?/p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q?p，但p?/q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p?/q，且q?/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (2)q不是p的必要条件时，“p?/q”成立．( ) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．“x>2”是“x－3x＋2>0”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由x－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)． (1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数； (2)p：x>0，y>0，q：xy>0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋C．
【导学号：46342015】
(1)(3) [在(1)(3)中，p?q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q?p，所以(2)中p不是q的充要条件．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
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充分条件、必要条件、充要条件的判断 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (4)p：a＜b，q：＜1.
[思路探究] 判断p?q与q?p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要条件． (2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即q?p，但p?q，所以p是q的充分不必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
﹁
﹁
﹁
﹁
﹁
﹁
abababab 2
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b； 当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件． [规律方法] 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 abab (2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． (3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 若p?q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件； 若p?q，且q ?/ p，则p是q的必要不充分条件； 若p?q，则p与q互为充要条件； 若p?/ q，且q ?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． [跟踪训练] 1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a>b”的( )
【导学号：46342016】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
D [令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a>b，即“a>b”不能推出“a>b”；再令
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﹁﹁﹁﹁﹁﹁﹁﹁﹁﹁﹁﹁a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是
“a>b”的既不充分也不必要条件．]
(2)对于二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件； ②Δ＝b－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件； ③Δ＝b－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件； ④Δ＝b－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件． A．①④
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B．①②③
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C．①②③④
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D．①②④
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D [①Δ＝b－4ac≥0?方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．
②若Δ＝b－4ac＝0，则方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．
③函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b－4ac<0?方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]
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充要条件的探求与证明 (1)“x－4x<0”的一个充分不必要条件为( ) A．0
B．0 211 (2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xy[思路探究] (1)先解不等式x－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x－4x<0的解集的子集． 22 (2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明． [解析] (1)由x－4x<0得0 [答案] B (2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>1111y－x必要性：由<，得－<0，即<0. 2 xy11 ，即<. xyxyxyxyxyxy因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 11 所以<的充要条件是xy>0. xy1111y－x法二：y?y－x<0，故由11 所以0， y－x<0?xy>0. xyxy 4
2024年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2
