专题八 立体几何
第二十四讲 空间向量与立体几何
答案部分 2024年
1.解析：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=又因为N为A1D的中点，所以ND=
1B1C． 21A1D． 2由题设知A1B1?DC，可得B1C?A1D，故ME?ND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
zD1A1B1C1
NDxABMCy则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A,3,?2)，1M?(?1A1N?(?1,0,?2)，A1N?(?1,0,?2)．
??m?A1M?0设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?，
??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．
?4z?0．????n?MN?0，n?(p,q,r) 设为平面A1MN的法向量，则???n?A1N?0．所以???3q?0，?可取n?(2,0,?1)．
???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为
2.解析：（I）因为PA?平面ABCD，所以PA?CD. 又因为AB?CD，所以CD?.平面PAD，
（II）过A作AD的垂线交BC于点M，因为PA?平面ABCD，所以PA?AM,PA?AD，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）. 所以AE??0,1,1?，PC??2,2,?2?, AP??0,0,2?. 所以PF?1?222??224?PC??,,??，AF?AP?PF??,,? 3?333??333?设平面AEF的法向量为n??x,y,z?，则
?y?z?0??n?AE?0?，即?2. ?24x?y?z?0???n?AF?033?3令z=1,则y=-1,x=-1.于是n???1,?1,1?.
又因为平面PAD的法向量为p??1,0,0?，所以cos
3 3zPFGBxMAC
EDy（III）直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且
PG2?,PB??2,?1,?2?, PB3所以PG?2?424??422?PB??,?,??，AG?AP?PG??,?,?. 3?333??333?由（II）知，平面AEF的法向量为n???1,?1,1?， 所以AG?n=-422???0，所以直线AG在平面AEF内. 3333.解析：方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC. 又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1， 平面A1ACC1∩平面ABC=AC， 所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形． 由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形． 由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
专题八 立体几何第二十四讲 空间向量与立体几何答案
