圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第四节无穷级数【本节知识框架】【历年考点一览表】说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。一、常数项级数1．常数项级数的概念（见表1-4-1）1/109圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台表1-4-1常数项级数的概念2．常数项级数的性质（1）如果级数?a
n?1
?
n
收敛于和S，c为常数，则?
?ca
n?1
?
n
收敛，其和为cS。?（2）如果级数其和为A±B。?a，?b
n?1
n
n?1
?
n
都收敛，其和分别为A、B，则?(a
n?1n?bn)收敛，（3）一个级数收敛，另一个级数发散，则它们对应项的和或差所得的级数发散。（4）两个发散级数对应项的和或差所得的级数敛散性不定。（5）如果级数?a
n?1?
?
n收敛，在级数的前面增加或删去有限项，不改变级数的敛散性。在收敛时和要改变。（6）如果级数?a
n?1
n收敛，则对其任意加括号后所得的级数仍收敛且其和不变。若2/109圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。3．几何级数与p级数及其收敛性（1）几何级数形如n2n
aq?a?aq?aq???aq???n?0?
叫做几何级数（又称等比级数），其中a≠0，q叫做级数的公比，当|q|＜1时级数收敛；当|q|＞1时，级数发散。（2）p级数形如1＋（1/2p）＋（1/3p）＋（1/4p）＋…＋（1/np）＋…称为p级数，其中常数p＞0。当p＞1时收敛，当p≤1时发散。4．常数项级数敛散性判别法（1）正项级数敛散性判别法正项级数是指各项为正数的级数?a
n?1
?
n
?a1?a2???an??(an?0)
各项符号相同的级数都可以归入正项级数（负项级数各项乘以－1可化为正项级数来判定）。正项级数的部分和Sn构成一个单调增加（或不减少）的数列{Sn}。由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{Sn}有上界。①利用级数收敛的必要条件判别3/109圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台设?a
n?1?。若n，其中an≥0（n＝1，2，…）n??
liman?0，则?an发散。n?1
?
②正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界。③常用的正项级数敛散法（见表1-4-2）表1-4-2常用的正项级数敛散法4/109圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（2）任意项级数敛散性的判定①交错级数敛散性的判定（莱布尼茨定理）设交错级数n?1(?1)an(an?0,n?1,2,?)?n?1?即a1－a2＋a3－a4＋a5…组成的级数，满足条件：liman
n??
?0；an≥an＋1（n＝1，2，…）。则交错级数收敛，且其和S≤a1，其余项rn的绝对值|rn|≤an＋1。(?1)n
(an?0)满足下列什么条件时收敛（【典型例题】级数?n?1an
?
）。[2017年真题]A．liman??n??
1?0B．limn??anC．?an?1
?
n发散D．an单调增且liman
n??
???【答案】Dn【解析】级数?(?1)n?1?11lim?0，即an单调递收敛的条件为1/an单调递减且n??anan增且limann?????
②一般异号级数敛散性的判定5/109
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