第三节 微积分基本公式
积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系. 即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式. 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册.
分布图示
★ 引言 ★ 引例 ★ 积分上限函数 ★ 积分上限函数的导数★ 例1
★ 例2-3 ★ 例4★ 例5 ★ 例6★ 例7
★ 原函数存在定理 ★ 牛顿-莱布尼兹公式 ★ 牛顿-莱布尼兹公式的几何解释★ 例8-9 ★ 例10★ 例11★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15★ 例16★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回
内容要点
一、引例
二、积分上限的函数及其导数：?(x)??xaf(t)dt
定理2 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数
?(x)??xaf(t)dt
就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.
三、牛顿—莱布尼兹公式
定理3 若函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则
?例题选讲
baf(x)dx?F(b)?F(a). (3.6)
公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.
积分上限的函数及其导数
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例1 (E01) 求右图中阴影区域的面积 解 由题意，得到 阴影区域的面积????2?secx?dx???2??1?x??dx
0212?40y2y?sec2x???2dx???sec2xdx??dx??x2dx
?4?4000011y?1?x21??2?tanx0??4?1?x3310??2?1. 3???4O1x
d?x2?例2(E02) 求 costdt?.
dx??0?d?x?解?cos2tdt??cos2x. dx?0?
d?x3t2?例3(E03)求 ?edt?.
dx?1????解 这里
?x31etdt是x3的函数，因而是x的复合函数，令x3?u,则?(u)?2?u1etdt,根据复
2合函数求导公式，有
d??dx??x312?d?etdt????du??u1262?du???(u)?3x2?eu?3x2?3x2ex? etdt???dx
例4 设f(x)是连续函数, 试求以下函数的导数. (1) F(x)??sinxcosxef(t)dt。 (2) F(x)??xf(t)dt。 (3) F(x)??f(x?t)dt.
00xx解(1)F?(x)?ef(sinx)cosx?ef(cosx)sinx. (2)因为F(x)?x(3)因为F(x)?
例5(E05)设函数y?f(x)由方程d?解在方程两边同时对x求导:?dx??d?于是?dy???xx0f(t)dt,所以F?(x)?xf(x)??x0f(t)dt.
?0f(x?t)dtu?x?t?y2?0xf(u)du??x0f(u)du.，所以，F?(x)?f(x).
??0y2edt?t2t2?0xsintdt?0所确定.求
dy. dx0?d?edt???dx?????sintdt??0 x?0?y202?dyd?etdt???dx?dx?????sintdt??0 x?02 / 5
即ey?(2y)?故
4dy?(?sinx)?0 dxdysinx?. 4dx2yey1例6(E04)求 lim分析:这是
?cosxe?tdtx22x?0.
0型不定式,应用洛必达法则. 0解
ddx?11cosxe?tdt??2ddx?cosx1e?tdt??2ddu?u1e?tdtu?cosx22?(cosx)?
??e?cosx?(cosx)??sinx?e?cosx,
2?故limx?0cosxe?tdtx22sinx?e?cos?limx?02x2x?1. 2ex
tf(t)dt?例7设f(x)在(??,??)内连续,且f(x)?0.证明函数F(x)?在(0,??)内为单调?f(t)dt0x0增加函数.
dxd证因为tf(t)dt?xf(x),dx0dx??f(t)dt?f(x),
0x所以F?(x)?xf(x)?x0f(t)dt?f(x)tf(t)dt0?xf(x)(x?t)f(t)dt?0?x????x0?f(t)dt??2????x0?f(t)dt??2,
?f(x)?0(x?0), ??x0f(t)dt?0,
?(x?t)f(t)?0, ?(x?t)f(t)dt?0,
0?x?F'(x)?0(x?0).
故F(x)在(0,??)内为单调增加函数.
牛顿—莱布尼兹公式
例8(E06)求定积分
?10x2dx.
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x3解是x2的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得:
3?x32xdx?0311?0101??. 333
例9（E07）求解当x?0时,
例10设 f(x)??1??2xdx.
?11的一个原函数是ln|x|,x??11?2xdx?ln|x|?2?ln1?ln2??ln2.
?1?2x0?x?1, 求
?51?x?2?20f(x)dx.
解如图(见系统演示)，在[1,2]上规定:当x?1时,f(x)?5,则由定积分性质得:
?
20f(x)dx??10f(x)dx??21f(x)dx?2xdx?5dx?6.
01?1?2例11（E08）计算|2x?1|dx.
0?11?1?2x,x??2 解因为|2x?1|??1?2x?1,x?2?所以
?
10|2x?1|dx?(1?2x)dx?1?1/2?11/2(2x?1)dx?(x?x2)1/20?(x2?x)01/21?. 2例12求定积分 解
???/3?/21?cos2xdx.
???/3?/21?cos2xdx????/3?/2sin2xdx?0???/3?/2|sinx|dx??sinxdx?sinxdx
?/20??0??/3?cosx??/2?cosx0
例13(E09)求
2?/33?. 2??2max{x,x2}dx.
解由图形(见系统演示)可知 ?x2,?2?x?0?f(x)?max{x,x2}??x,0?x?1
?x2,1?x?2???2?2max{x,x2}dx??0?2x2dx?xdx?0?1?21x2dx?11. 2
例14（E10）计算由曲线y?sinx在x?0,x??之间及x轴所围成的图形的面积A. 解如图(见系统演示),根据定积分的几何意义,所求面积A为 A???0sinxdx??cosx0??cos??(?cos0)?2.
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例15汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度???5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过了多少距离?
解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间.设开始刹车的时刻为t?0,此时汽车速度为v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s.
3600刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)?v0?at?10?5t. 当汽车停住时,速度v(t)?0,故由
v(t)?10?5t?0?t?10/5?2(s). 于是这段时间内,汽车所驶过的距离为
?t2?s?v(t)dt?(10?5t)dt??10t?5???10(m).
002?0?2?2?2即在刹车后,汽车需驶过10m才能停住.
例16(E11)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,证明在开区间(a,b)内至少存在一点?,使
?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b).
证因f(x)连续,故它的原函数存在,设为F(x),即设在[a,b]上F'(x)?f(x). 根据牛顿-莱布尼茨公式,有
?baf(x)dx?F(b)?F(a).
显然函数F(x)在区间[a,b]上满足微分中值定理的条件,因此按微分中值定理,在开区间(a,b)内至少存在一点?,使
F(b)?F(a)?F'(?)(b?a),??(a,b),
故
?baf(x)dx?f(?)(b?a),??(a,b).
注: 本例的结论是对积分中值定理的改进.从其证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.
课堂练习
1.设f(x)在[a,b]上连续, 则
?xaf(t)dt与
?bxf(u)du是x的函数还是t与u的函数? 它们的
导数存在吗? 如果存在等于什么?
2.用定积分定义和性质求极限
11??1lim??????. n???n?1n?22n?x23.计算定积分dx.
01?x2?1
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三节微积分基本公式
