专题19 平行四边形、矩形、菱形
例1 75° 例2 A 只有命题③正确.
例3 （1）△BEF为正三角形 提示：由△ABD和△BCD为正三角形，可证明△BDE≌△BCF， 得：BE=BF，∠DBE=∠CBF.
∵∠DBC=∠CBF+∠DBF=∠DBE+∠DBF=60°，即∠EBF=60°，故△BEF为等边三角形. (2)设BE?BF?EF?x，则可得：S?当BE⊥AD时，x有最小值为3. ∴Smin32x， 43??4?3?2?33. 4当BE与AB重合时，x有最大值为2， ∴Smax?332??2??3. ∴3?S?3. 44??例4 提示：PC=EF=PD，?CPB?45??PFC?45??EPG??GPA??BPD，可证明 △CPB≌△DPB.
例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB至H，使AH=AD，连DH，则 △AHD是等边三角形. ∵AH=AD=DF，∴BH=GF， 又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF， ∴△DBH≌△DGF，∠BDH=∠GDF，
∴?BDG??ADC??ADB??GDF??ADC???ADB??BDH??120??60??60?
例6 如图过M作MEPAN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，得NE=AM，ME⊥BC. ∵ME=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC.
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE. ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°. ∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°.
A级
1. 123 2. 2?
3. 26° 提示：作FG边上中线，连接EC，则EF=EC=AC.
4. 20° 提示：连接AC，则△AFC≌△AEB，△AEF为等边三角形. 5.C 6.B 7.D 8. A 提示：E、F分别为AB、BC中点.
9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD是平行四边形的有以下9种 情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥. 10. 提示：（2）当D为BC中点时，满足题意.
11. 提示：连AM，证明△AMF≌△BME，可证△MEF为等腰直角三角形.
12. 6 提示：由△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC得：AC=DF=AE，AB=EF=AD.故四边形AEFD为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE=360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F到AD的距离为2，故SYAEFD?3?2?6.
B级
1. 9cm 2. 32 提示：可以证明PA?PC?PB?PD. 3.4. 10 提示：可先证：AF=CF.设AF?CF?x，则BF?8?x，
22∴x??8?x??4. ∴x?5. ∴S?AFC?22222215cm 211AFgBC??5?4?10. 225.
60 提示：过A作AG⊥BD于G可证PE+PF=AG， 135?1260?. 1313由AGgBD?ABgAD可得：AG?6. 23cm 提示：A，C关于BD对称，连AE交BD于P. ∴PE+PC=AE.
又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴AE?23为最小. 7. B
8. B 提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.
9. C
10.(1)=；图略 （2）1；图略 （3）3；图略 （4）以AB为边的矩形周长最小，用面积法证明．
11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形． (1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN． ∵AM＝AN，∠MAN＝60°， ∴△AMN为等边三角形．
(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P． ∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，
∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC． 又∠APM＝120°＝∠MCN．
∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN， ∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°． 故△AMN为等边三角形．
12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得□ABCM、□CDEP、□EFAN，则EF＝AN，AB＝
ABNCPMDFEAPBMCNDCM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题19 平行四边形、矩形、菱形 - 答案[精品]
