91
Lu?L(etsinx)?etsinx?etsinx?3etsinx??etsinx?0,
92
显然ux?0?0,ux???0ut?0?sinx,
93
???u(x,t)的非负最大值在?，T?处达到非负最大值.
?2?94 95 96
但我们有
1(Q)?C(Q)且满足定理 4.3 设c(x,t)??c0,其中c0为正常数,又设u?C2，Lu?f?0,那么如果maxu(x,t)?0,必有maxu(x,t)?0
?Q97 98 99 100
证明 令v(x,t)?e?c0tu(x,t).容易验证v(x,t)满足方程
vt?a2vxx?bvx?(c(x,t)?c0)v?fe?c0t?0,
由于此时有c(x,t)?c0?0,应用定理4.2,我们有
maxv(x,t)?maxv?(x,t)?maxe?c0tu?(x,t)?0
Q??101 因此v(x,t)?0,从而在Q上u(x,t)?0.
1(Q)?C(Q),且有推论（比较原理） 设c(x,t)??c0(c0?0),又设u,v?C2，102 103
Lu?Lv,u??v?,则在Q上u(x,t)?v(x,t).
104 证明 只须令w(x,t)?u(x,t)?v(x,t),由u,v的条件,显然有
105
Lw?L(u?v)?Lu?Lv?0,w??(u?v)??0,
106 107
由定理4.3,得w(x,t)?0,(x,t)?Q于是u(x,t)?v(x,t),(x,t)?Q. 4.2第一边值问题解的最大模估计
6
108 考虑第一边值问题
109
?Lu?ut?a2uxx?f,(x,t)?Q?0?x?l,?ut?0??(x),?ux?l?g2(t),0?t?T?ux?0?g1(t),（4.5）
1(Q)?C(Q)是问题（4.5）的解,则 定理4.4 设u?C2，
110 111 112 113 114
maxu?FT?B,Q
（4.6）
其中F?supf,B?max{sup?,supg1,supg2.
Q[0,l][0,T][0,T]115 证明 考虑辅助函数w(x,t)?Ft?B?u(x,t),易知Lw?F?Lu?F?f?0,在?上
116
w??(B?u)??0,
由弱极值原理,w在Q上的最小值必在?上达到,即
117 118
minw?minw?0,
Q?119 120
于是 w?0,(x,t)?Q, ?u(x,t)?Ft?B 故maxu?FT?B.
Q121
1(Q)?C(Q)中的解是唯一的. 推论1 问题（4.5）在C2，122
证明 设u1,u2是（4.5）的两个解,令w?u1?u2,则w满足
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最新4极值原理与最大模估计
