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§4极值原理与最大模估计
4．1弱极值原理
从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温度及初始温度都不超过某值M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生大于M的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”.
记Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T},Q的侧边与底边统称为Q的抛物边界,记为
(x,t):x??,t?0?,Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T}, ?或?pQ,?????(0,T)??10 C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},
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C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},
1C2，(Q)?{u|u,ut,ux,uxx?C(Q)},
我们将考虑热传导方程
Lu?ut?a2uxx?f(x,t),
（4.1）
从第一节我们知道,如果f(x,t)?0,则称杆内有热源；如果f(x,t)?0,则表示杆内有冷源,或称为热汇.
1(Q)?C(Q),且满足Lu?f(x,t)?0,则u在Q定理4.1（弱极值原理）设u?C2，上的最大值必在Q的抛物边界?上达到,即
1
20 21 22 23 24
maxu(x,t)?maxu(x,t)
Q?（4.2）
证明 先设f(x,t)?0,则我们断言u必不能在Q内达到最大值.u在Q上连续,有最大值,必在?上达到,若不然,设在某点P0(x0,t0)?Q,使得
u(x0,t0)?maxu(x,t),
Q25
?u则
?xP0?0,?2u?x2P0?0,
26
?u?t?u?tP0?0, 当t0?T 当t0?T
27
P0?0,2??u2?u?28 因此f(x0,t0)????t?a?x2????P0?0,这与f(x,t)?0的假设矛盾,因而u必不能在
29 Q内达到最大值.maxu(x,t)?maxu(x,t).
Q?30 31 32 33 34
现在考虑一般的情况,即f(x,t)?0,我们设法将它归结为前面已证的情况. 为此,对于任意??0,考虑辅助函数
v(x,t)?u(x,t)??t,
简单计算可得
Lv?Lu???f???0,
35 36
应用已证的断言,v一定不能在Q内达到最大值,（v在?上达到最大值） 则有 maxv(x,t)?maxv(x,t)
Q?
2
37
max?u(x,t)??t??max?u(x,t)??t?
Q?38 39
令??0,得
maxu(x,t)?maxu(x,t)
Q?40 41 42 43 44 45
1(Q)?C(Q),且满足Lu?f(x,t)?0,则u在Q上的最小值必在?推论 设u?C2，上达到,即
minu(x,t)?minu(x,t)
Q?（4.3）
如果Lu?0,则u在Q上的最大值与最小值都必在抛物边界?上达到,即
maxu(x,t)?maxu(x,t), minu(x,t)?minu(x,t),
Q?Q?46 max(?u)?max(?u),
Q?47 maxu?maxu .
Q?48 49
证明 令v??u,则Lv??Lu??f?0,利用定理4.1,则
max(?u(x,t))?max(?u(x,t))
Q?50 由此即得minu(x,t)?minu(x,t),
Q?51 52 53 54
如果Lu?0,则有
maxu(x,t)?maxu(x,t),minu(x,t)?minu(x,t),max(?u(x,t))?max(?u(x,t)),
Q?Q?Q?于是有
maxu?maxu
Q?
3
55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
附注 这里我们注意两种不同的说法：“必在抛物边界上达到”与“除恒为常数外不能在Q内（包括t?T）达到”的区别,后者的结论更强.由于我们定理的结论属于前者,因此称为弱极值原理.
我们还可以讨论稍一般的方程
Lu?ut?a2uxx?b(x,t)ux?c(x,t)u?f(x,t),
（4.4）
1(Q)?C(Q),且满足Lu?0,则u在Q上的非定理4.2 设c(x,t)?0,又设u?C2，负最大值必在抛物边界?上达到（如果存在的话）,即
maxu(x,t)?maxu?(x,t)
Q?（4.3）
其中u?(x,t)?max{u(x,t),0}.
66 67 68
证明 （1）先设Lu?0,则我们断言u的非负最大值必不能在Q内达到.如不然,设在某点P0(x0,t0)?Q,使得
u(x0,t0)?maxu(x,t)?0,
Q69
?u则
?xP0?0,?2u?x2P0?0,?u?tP0?0,
70 71
因此LuP0?(ut?a2uxx?b(x,t)ux?c(x,t)u)P0?0这与Lu?0的假设矛盾,因而
u必不能在Q内达到非负最大值,maxu(x,t)?maxu?(x,t).
Q?72 73
（2）现在考虑一般的情况,即Lu?0,我们设法将它归结为前面已证的情况. 为此,对于任意??0,考虑辅助函数
4
74 75 76
简单计算可得
v?(x,t)?u(x,t)??t,
Lv??Lu??t?c?t?0,
77 78
应用已证的断言,v?一定不能在Q内达到非负最大值,则有 maxv?(x,t)?maxv?(x,t)
Q??79
即 max?u(x,t)??t??max?u(x,t)??t?
?Q?80 81
令??0,则有
maxu(x,t)?maxu?(x,t)
Q?82 83 84
1(Q)?C(Q),且满足Lu?0,则u在Q上的非正推论 设c(x,t)?0,又设u?C2，最小值必在抛物边界?上达到（如果存在的话）,即 minu(x,t)?minu?(x,t)
Q?85
其中u?(x,t)?min{u(x,t),0}.
86 87
如果在Q内Lu?0,那么
maxu(x,t)?maxu(x,t).
Q?88 89 90
附注 当c(x,t)?0的条件放宽为c(x,t)??c0,(c0?0),上面形式的极值原理不再成立.
例如 对Lu?ut?uxx?3u,u?etsinx,x?(0,?),0?t?T,
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